Determinatëssa

La determinatëssa a l'é un soget dë studi ant la teorìa descritiva dj'ansem. Për minca sot-ansem A d'$\mathbb {N} ^{\mathbb {N} }$ as costruiss un gieugh $G_{A}$ giugà da doi giugador I e II parèj: a l'ancamin I a gieuga un nùmer natural $a_{0}$; apress II a rëspond an giugand un nùmer natural $b_{0}$; peui I a sern un nùmer natural $a_{1}$; ël giugador II a sern $b_{1}$ e via fòrt. Ël gieugh a chita apress ω mòsse. Si la sequensa $(a_{0},b_{0},a_{1},b_{1},\ldots )$ a l'é an A, antlora I a vagna; dësnò a l'é II a vagné. Le definission Pijà $A\subseteq \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }$, ch'as consìdera ël gieugh corëspondent $G_{A}$. Na partìa a l'é qualsëssìa sequensa $(a_{0},b_{0},a_{1},b_{1},\ldots )\in \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }$. Për minca $n\in \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }$, $a_{n}$ a l'é la mòssa nùmer n dël giugador I e $b_{n}$ a l'é la mòssa nùmer n dël giugador II. Stategìe e strategìe ch'a vagno Na strategìa (për I o për II) a l'é na régola ch'a dis al giugador che mòssa fé, an dipendensa dle mòsse già giugà da tuti doi. Na strategìa a l'é na strategia ch'a vagna s'ël giugador corëspondent, an andasendje dapress, a vagna sempe. Donca, na strategìa për I a l'é na fonsion σ dont ël domini a l'é l'ansem dle sequense ëd nùmer naturaj ëd longheur cobia e ij valor a son dij nùmer naturaj. Ël giugador I a gieuga $(a_{0},b_{0},a_{1},b_{1},\ldots )$ conforma a la strategìa σ si $a_{0}=\sigma (\emptyset ),a_{1}=\sigma (a_{0},b_{0}),a_{2}=\sigma (a_{0},b_{0},a_{1},b_{1})$ e via fòrt. Parèj, si I a gieuga conforma a σ, antlora la partìa a l'é determinà da σ e da la sequensa $b=(b_{0},b_{1},\ldots )$ dle mòsse ëd l'àutr. Sa partìa as denòta $\sigma *b$. Na strategìa σ për ël giugador I a l'é na strategìa ch'a vagna si $\{\sigma *b\mid b\in \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }\}\subseteq A$, visadì cand tute le partìe che I a gieuga conforma a σ a son an A. Ant l'istessa manera, na strategìa për II a l'é na fonsion τ dont ël domini a l'é l'ansem dle sequense ëd naturaj ëd longheur dëscobia e ij valor a son ëd nùmer naturaj. Assignà $a\in \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }$ e na strategìa τ për II, con $a*\tau$ as denòta la partìa anté che I a gieuga a e II a rëspond conforma a τ. Na strategìa τ për II a l'é na strategìa ch'a vagna si $\{a*\tau \mid a\in \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }\}\subseteq \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }\setminus A$. Ëd tansantan as consìdero ëdcò dij gieugh $G_{A}$ anté che le mòsse a son nen ëd nùmer naturaj ma element ëd chèich ansem S. Na partìa a l'é antlora na sequensa $p\in S^{\mathbb {N} }$ e l'arzultà dla partìa a dipend se $p\in A$ o $p\notin A$ (ambelessì A l'é un sot-ansem d'$S^{\mathbb {N} }$). L'assiòma ëd determinatëssa Ël gieugh $G_{A}$ as dis determinà si un dij doi giugador a l'ha na strategìa ch'a vagna. Un dj'arzultà pi amportant ant la teorìa descritiva dj'ansem a l'é la dimostrassion ëd Martin che $G_{A}$ a l'é determinà për minca sot-ansem borelian d'$\mathbb {N} ^{\mathbb {N} }$. Ës teorema a l'é dël 1975; dël 1985, Martin a l'ha publicà na dimostrassion simplificà. L'assiòma ëd determinatëssa (AD, proponù da Mycielski e Steinhaus dël 1962) a fortiss che për qualsëssìa $A\subseteq \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }$ ël gieugh $G_{A}$ a l'é determinà. Cost assiòma as peul limitesse a dle famije particolar d'ansem. Për esempi, l'assiòma ëd determinatëssa projetiva (PD, projective determinacy) a l'é l'assiòma ch'a fortiss che $G_{A}$ a l'é determinà për minca ansem projetiv. An dij travaj dal 1963 al 1966, Mycielski a l'ha smonù na tratassion aprofondìa dle conseguense dl'assiòma ëd determinatëssa e ëd problema duvert lià. Dagià che la quantità dë strategìe a l'é $2^{\aleph _{0}}$, un rasonament diagonal a fa vëdde che l'assiòma ëd determinatëssa a l'é incompatìbil con l'assiòma ëd selession: Teorema. Sota l'assiòma ëd selession, a-i é $X\subseteq \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }$, tal che ël gieugh $G_{X}$ a l'é nen determinà. Cost teorema a l'é stàit dimostrà da Gale e Stewart dël 1953. Dimostrassion. Pijoma d'enumerassion $\{\sigma _{\alpha }\mid \alpha <2^{\aleph _{0}}\},\{\tau _{\alpha }\mid \alpha <2^{\aleph _{0}}\}$ ëd tute le strategìe për I e për II. Për andussion, as costruisso doi ansem $X=\{x_{\alpha }\mid \alpha <2^{\aleph _{0}}\},Y=\{y_{\alpha }\mid \alpha <2^{\aleph _{0}}\}$: dàit $x_{\xi },y_{\xi }$ për minca $\xi <\alpha$, pijé $y_{\alpha }$ ëd fasson che $y_{\alpha }=\sigma _{\alpha }*b$ për chèich b e $y_{\alpha }\notin \{x_{\xi }\mid \xi <\alpha \}$; ant l'istessa manera, serne $x_{\alpha }$ con $x_{\alpha }=a*\tau _{\alpha }$ për chèich a e $x_{\alpha }\notin \{y_{\xi }\mid \xi \leq \alpha \}$. J'ansem X e Y a son disgionzù, për minca α a-i é b tal che $\sigma _{\alpha }*b\notin X$ e a-i é a tal che $a*\tau _{\alpha }\in X$. Donca nì I nì II a l'han na strategìa ch'a vagna ant ël gieugh $G_{X}$ e parèj $G_{X}$ a l'é nen determinà. D'àutra part, l'assiòma ëd determinatëssa a ìmplica na forma débola dl'assiòma ëd selession: Teorema. L'assiòma ëd determinatëssa a ìmplica che minca famija numeràbil d'ansem nen veuid ëd nùmer reaj a l'ha na fonsion ëd selession. Dimostrassion. Pijoma na famija $\{X_{n}\mid n\in \mathbb {N} \}$ ëd sot-ansem nen veuid d'$\mathbb {N} ^{\mathbb {N} }$ për trovene na fonsion f ëd selession. Consideroma ël gieugh sì-dapress: si I a gieuga $(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )$ e II a gieuga $b=(b_{0},b_{1},b_{2},\ldots )$, II a vagna si e mach si $b\in X_{a_{0}}$. Ël giugador I a peul nen avèj na strategìa ch'a vagna, dagià che si chiel-sì a ancamin-a an giugand $a_{0}$, II a peul vagné an pijand qualsëssìa $b=(b_{0},b_{1},b_{2},\ldots )\in X_{a_{0}}$ e an giugand ij sò element un a la vira. Donca, për l'ipòtesi ëd determinatëssa, a l'é II ch'a l'ha na strategìa ch'a vagna τ e as peul definì la fonsion ëd selession f parèj: $f(X_{n})=\tau *(n,0,0,0,\ldots )$.