Criteri ëd d'Alembert

Ch'as consìdera na sequensa $(u_{n})$ ëd nùmer reaj positiv. Ël criteri ëd d'Alembert (o criteri dël rapòrt) a fortiss che s'a esist un nùmer λ<1 tal che a parte d'un chèich ìndes a val la relassion ${\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}<\lambda$, la serie $\sum u_{n}$ a convergg; si, a ancaminé da 'n chèich ìndes, ${\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}\geq 1$, antlora la serie a divergg. An particolar, si $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}<1$, antlora i l'oma convergensa; si $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}>1$ i l'oma divergensa. La dimostrassion Butoma che $\forall n\geq m,{\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}<\lambda <1$; sòn a veul dì che $u_{n+1}<\lambda u_{n}$ e donca che $\forall h,u_{m+h}<\lambda ^{h}u_{m}$. Dagià che la serie geométrica ëd rason λ<1 a convergg, për ël criteri dël confront ëdcò la serie $\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}$ a convergg. Noté che ant ës cas-sì la soma dla serie a l'é limità da 'dzora da $\sum _{n=0}^{m-1}u_{n}+{\frac {u_{m}}{1-\lambda }}$. D'àutra part, si $\forall n\geq m,{\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}\geq 1$, antlora a ancaminé da l'ìndes m la sequensa $u_{n}$ a l'é nen dechërsenta e donca nen infinitésima. Parèj, la serie a divergg.