Régola dla caden-a

Dàite le fonsion reaj ëd variàbil real $f,g$ con $f$ derivàbil an $x$ e $g$ derivàbil an $f(x)$, la régola dla caden-a a fortiss che la fonsion $g\circ f$ a l'é derivàbil an $x$ e soa derivà a l'é $g'[f(x)]f'(x)$. La dimostrassion Da j'ipòtesi i soma che $f(x+h)=f(x)+f'(x)h+\sigma _{1}(h)h$ e $g(f(x)+k)=g(f(x))+g'(f(x))k+\sigma _{2}(k)k$, andoa $\lim _{h\rightarrow 0}\sigma _{1}(h)=0,\lim _{k\rightarrow 0}\sigma _{2}(k)=\sigma _{2}(0)=0$. Pijà antlora $k=f(x+h)-f(x)=f'(x)h+\sigma _{1}(h)h$, i trovoma che g(f(x+h))=g(f(x))+g'(f(x))f'(x)h+σ(h)h, anté ch'a l'é butasse $\sigma (h)=g'(f(x))\sigma _{1}(h)+\sigma _{2}(f'(x)h+\sigma _{1}(h)h)(f'(x)+\sigma _{1}(h))$. Dagià che $\lim _{h\rightarrow 0}(f'(x)+\sigma _{1}(h))h=0$ e $\sigma _{2}$ a l'é continua, e a val 0 an 0, a-i na ven che $\lim _{h\rightarrow 0}\sigma (h)=0$. Sòn a conclud la dimostrassion. Chèich esempi d'aplicassion Ch'as consìdera la fonsion $h(x)={\sqrt {1-x^{2}}}$. Costa a l'é la composission $g\circ f$ dle fonsion $f(x)=1-x^{2}$ e $g(y)={\sqrt {y}}$. Dagià che f'(x)=-2x e $g(y)={\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}$, an dovrand la régola as oten $h'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {1-x^{2}}}}}(-2x)=-{\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$. La régola dla caden-a a peul esse dovrà ëdcò për dle composission ëd pì che doe fonsion. Për esempi, consideroma la fonsion $h(x)=e^{\cos 3x}$. As agiss dla composission dle fonsion φ(x)=3x, ψ(y)=cosy, dont na prima aplicassion dla régola dla caden-a a smon $(\psi \circ \varphi )'(x)=-3\sin 3x$, $g(z)=e^{z}$. N'àutra aplicassion dla régola dla caden-a an dà $h'(x)=-3e^{\cos 3x}\sin 3x$. Generalisassion a dimension pì grande La régola ëd derivassion dle fonsion componùe a peul esse generalisà a dimension pì grande. Consideroma, për esempi, na fonsion $f:E\subseteq \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ e suponoma che f a sia tut afàit diferensiàbil ant ël pont $P_{0}=(x_{0},y_{0})\in E$, che donca a resta a l'anterior d'E. Si $\varphi ,\psi :I\to \mathbb {R}$ a son fonsion derivàbij an $t_{0}$, e a pijo ij valor $\varphi (t_{0})=x_{0},\psi (t_{0})=y_{0}$, antlora la fonsion $F(t)=f(\varphi (t),\psi (t))$ a l'é derivàbil an $t_{0}$ e i l'oma: $F'(t_{0})={\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0},y_{0})\varphi '(t_{0})+{\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0})\psi '(t_{0})$. An dovrand le notassion ëd Leibniz, costa relassion a peul esse scrivùa ${\frac {df}{dt}}={\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {dx}{dt}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {dy}{dt}}$. Dimostrassion. Dagià che φ e ψ a son continue an $t_{0}$, për Δt an n'anviron forà ëd 0 i l'oma che $(\varphi (t_{0}+\Delta t),\psi (t_{0}+\Delta t))\in E$. Antlora, si $x=\varphi (t_{0}+\Delta t),y=\psi (t_{0}+\Delta t)$, a-i na ven che $F(t_{0}+\Delta t)-F(t_{0})=f(x,y)-f(x_{0},y_{0})=$ $={\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0},y_{0})\Delta x+{\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0})\Delta y+\sigma {\sqrt {\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}}$, andoa $\Delta x=\varphi (t_{0}+\Delta t)-\varphi (t_{0}),\Delta y=\psi (t_{0}+\Delta t)-\psi (t_{0})$ e σ a l'é infinitésim për ${\sqrt {\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}}\rightarrow 0$ e donca ëdcò për $\Delta t\rightarrow 0$. I na otnoma che ${\frac {F(t_{0}+\Delta t)-F(t_{0})}{\Delta t}}={\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0},y_{0}){\frac {\Delta x}{\Delta t}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0}){\frac {\Delta y}{\Delta t}}+$ $+\sigma {\sqrt {({\frac {\Delta x}{\Delta t}})^{2}+({\frac {\Delta y}{\Delta t}})^{2}}}$. Dagià che $\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta x}{\Delta t}}=\varphi '(t_{0}),\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta y}{\Delta t}}=\psi '(t_{0}),\lim _{\Delta t\rightarrow 0}\sigma =0$, as peul conclude che $\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {F(t_{0}+\Delta t)-F(t_{0})}{\Delta t}}={\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0},y_{0})\varphi '(t_{0})+{\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0})\psi '(t_{0})$.