Criteri ëd Leibniz

Ël criteri ëd Leibniz (ciamà ëdcò criteri dle serie alternà) a fortiss che si $u_{n}$ a l'é na sequensa dla forma $u_{n}=(-1)^{n}v_{n}$, anté che $v_{n}$ a l'é na sequensa infinitésima ëd reaj positiv con $v_{n+1}\leq v_{n}$, antlora la serie $\sum _{i=0}^{\infty }u_{i}$ a convergg. La dimostrassion Ch'as denota $A_{n}=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}v_{i}$. Antlora: $A_{2n+2}=A_{2n}-v_{2n+1}+v_{2n}\leq A_{2n}$; $A_{2n+3}=A_{2n+1}+v_{2n+2}-v_{2n+3}\geq A_{2n+1}$; $A_{2n+2}-A_{2n+1}=a_{2n+2}\rightarrow 0$. Donca $A_{2n}$ e $A_{2n+1}$ a son ëd sequense reaj monoton-e, limità, con ël midem lìmit, ch'a l'é la soma dla serie. Esempi Si $0<x\leq 1$, la serie $\sum _{i=1}^{\infty }(-1)^{i-1}{\frac {x^{i}}{i}}$ a convergg. An efet, për la fórmola ëd Taylor-Lagrange, $\ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\ldots +{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}{\frac {1}{(1+c)^{n}}}x^{n}$, për chèich c con 0<c<x. Donca, an butand x=1, as treuva $\sum _{i=1}^{\infty }(-1)^{i-1}{\frac {1}{i}}=\ln 2$. La serie $\sum _{i=1}^{\infty }(-1)^{i-1}{\frac {1}{i}}$ a convergg. As ciama serie armònica a sign alternà.