Fórmole ëd Taylor

La fórmola ëd Taylor a compariss dël 1715 an Methodus incrementorum directa et inversa, ëd Brook Taylor. Soa amportansa a l'é restà dësconossùa fin-a al 1772, cand Joseph-Louis Lagrange a l'ha dila ël fondament prinsipal dël càlcol diferensial. Cand ël pont d'achit a l'é l'orìgin, la fórmola a la diso fórmola ëd Maclaurin. Fórmola ëd Taylor con resta ëd Peano Ch'as consìdera na fonsion f derivàbil n vire ant ël pont $x_{0}$. Antlora a val la fórmola ëd Taylor con resta ëd Peano, con pont d'achit $x_{0}$: $f(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}f^{(k)}(x_{0})(x-x_{0})^{k}+o((x-x_{0})^{n})$. L'adend $o((x-x_{0})^{n})$ a l'é la resta d'órdin n ant la forma ëd Peano. Notoma che cost adend a l'é dla forma $R_{n}(x-x_{0})$, anté che $R_{n}(h)={\frac {h^{n}}{n!}}\omega (h)$, con $\lim _{h\rightarrow 0}\omega (h)=\omega (0)=0$. Esempi Ël dësvlup ëd la fonsion esponensial ant l'orìgin con resta ëd Peano a l'é $e^{x}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {x^{k}}{k!}}+o(x^{n})$. Dimostrassion Për dimostré costa fórmola, a basta fé vëdde che $\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x_{0}+h)-[f(x_{0})+hf'(x_{0})+\ldots +{\frac {h^{n}}{n!}}f^{(n)}(x_{0})]}{h^{n}}}=0$, visadì $\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})-\ldots -{\frac {h^{n-1}}{(n-1)!}}f^{(n-1)}(x_{0})}{h^{n}}}={\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}$. Sòn as peul oten-e an aplicand n-1 vire ël teorema ëd l'Hôpital. Fórmola ëd Taylor con resta ëd Lagrange Ch'as consìdera na fonsion f real definìa ansima a n'antërval duvert J ch'a conten ël pont $x_{0}$. Si f a l'é derivàbil n vire ëd fasson continua ansima a s'anterval, e la derivà d'órdin n+1 a esist an tut J gavà miraco ël pont $x_{0}$, antlora për minca $x\in J$ a-i é un nùmer $c_{x}$ ch'as treuva antrames tra $x_{0}$ e x con la proprietà che la diferensa an tra 'l valor dla fonsion e col dël polinòmi ëd Taylor d'órdin n a l'é $f(x)-p_{n}(x)={\frac {f^{(n+1)}(c_{x})}{(n+1)!}}(x-x_{0})^{n+1}$. Costa diferensa $R_{n}(x)={\frac {f^{(n+1)}(c_{x})}{(n+1)!}}(x-x_{0})^{n+1}$ as ciama resta ëd Lagrange. Esempi La fonsion esponensial, dësvlupà ant l'orìgin an dovrand la fórmola ëd Taylor con resta ëd Lagrange, a smon: $e^{x}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {x^{k}}{k!}}+{\frac {e^{x_{0}}}{(n+1)!}}x^{n+1}$, për chèich $x_{0}$ antra 0 e $x_{0}$. Dimostrassion Për ancaminé, ch'as consìdera h>0. An butand $q(h)={\frac {R_{n}(h)}{h^{n+1}}}$ i l'oma $f(x_{0}+h)-f(x_{0})-hf'(x_{0})-\ldots -{\frac {h^{n}}{n!}}f^{(n)}(x_{0})-h^{n+1}q(h)=0$. Consideroma adess la fonsion $\varphi :[x_{0},x_{0}+h]\rightarrow \mathbb {R}$ definìa da $\varphi (x)=f(x_{0}+h)-f(x)-{\frac {x_{0}+h-x}{1!}}f'(x)-$ $-\ldots -{\frac {(x_{0}+h-x)^{n}}{n!}}-(x_{0}+h-x)^{n+1}q(h)$. Dagià che f a l'ha derivà continue findi a l'órdin n ant l'antërval duvert J, a-i na ven che $\varphi$ a l'é continua ant l'antërval sarà $[x_{0},x_{0}+h]$. An dzorpì, $\varphi$ a val 0 a j'estrem ëd cost antërval e a l'é derivàbil an minca pont ëd l'antërval $(x_{0},x_{0}+h]$, con derivà $\varphi '(x)=-{\frac {(x_{0}+h-x)^{n}}{n!}}f^{(n+1)}(x)+(n+1)(x_{0}+h-x)^{n}q(h)$. Donca a l'é possìbil apliché a $\varphi$ ël teorema ëd Rolle, ch'an dis ch'a-i é almanch un pont $c_{x}\in (x_{0},x_{0}+h)$ anté che $\varphi '(c_{x})=0$, visadì $q(h)={\frac {1}{(n+1)!}}f^{(n+1)}(c_{x})$, lòn ch'an basta a conclude. Për h<0 as fa ël midem rasonament. N'aplicassion Butoma ël cas, adess, che an dzorpì dj'ipòtesi già considerà, i l'oma ëdcò che $f^{(n+1)}$ a l'é limità an $J-\{x_{0}\}$, visadì ch'a-i sia n'M>0 tal che $|f^{(n+1)}(x)|\leq M$ për minca x. Antlora, la resta a sodisfa la limitassion $|R_{n}(h)|\leq {\frac {|h|^{n+1}}{(n+1)!}}M$ për minca h tal che $x_{0}+h\in J$. Sòn an përmet dë stimé l'eror ch'as fà an rampiassand $f(x_{0}+h)$ con ël polinòmi ëd Taylor d'órdin n con pont d'achit $x_{0}$. Fórmola ëd Taylor për fonsion ëd doe variàbij La fórmola ëd Taylor as peul adatesse a na fonsion ëd pì che un-a variàbil real. Ch'a consìdera, për esempi, na fonsion $f:E\subseteq \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$. Ch'as pijo doi pont $(x_{0},y_{0}),(x_{0}+h,y_{0}+k)$ ch'a l'abio tut ël segment an tra 'd lor ant l'anterior d'E. Si an E a-i son e a son contìnoe le derivà parsiaj d'f fin-a a l'órdin $n+1$, antlora: $f(x_{0}+h,y_{0}+k)=f(x_{0},y_{0})+$ $+\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{j!}}\left(h{\frac {\partial }{\partial x}}+k{\frac {\partial }{\partial y}}\right)^{j}f(x_{0},y_{0})+{\frac {1}{(n+1)!}}\left(h{\frac {\partial }{\partial x}}+k{\frac {\partial }{\partial y}}\right)^{n+1}f(\xi ,\eta )$, anté che $(\xi ,\eta )$ a l'é 'n pont convenient ant l'anterior dël segment. Dimostrassion Ij pont dël segment a l'han coordinà $\left\{{\begin{matrix}x&=&x_{0}+ht\\y&=&y_{0}+kt\end{matrix}}\right.,$ për $t\in [0,1]$. Se un a considera la fonsion componùa $F(t)=f(x_{0}+ht,y_{0}+kt)$, për la fórmola ëd Maclaurin për le fonsion con mach na variàbil aplicà ant l'antërval [0,1], a-i é $\theta \in ]0,1[$ tal che $F(1)=F(0)+F'(0)+\ldots +{\frac {1}{n!}}F^{(n)}(0)+{\frac {1}{(n+1)!}}F^{(n+1)}(\theta )$ e da sòn a-i ven l'arzultà an butand $\xi =x_{0}+h\theta ,\eta =y_{0}+k\theta$. Ël darié tèrmin ${\frac {1}{(n+1)!}}F^{(n+1)}(\theta )={\frac {1}{(n+1)!}}\sum _{r=0}^{n+1}\left({\begin{matrix}n+1\\r\end{matrix}}\right){\frac {\partial ^{(n+1)}f}{\partial x^{r}\partial y^{n+1-r}}}(\xi ,\eta )h^{r}k^{n+1-r}$ dl'adission as ciama termo complementar o eror dla fórmola ëd Taylor. Lassand da banda ël termo complemetar, a-i resta un polinòmi ëd gré n ant le variàbij h,k ch'a apròssima $f(x_{0}+h,y_{0}+k)$ për $(h,k)\rightarrow (0,0)$. Për $x_{0}=y_{0}=0$ i otnoma la fórmola ëd Maclaurin: $f(x,y)=f(0,0)+\sum _{j=1}^{n}\left(x{\frac {\partial }{\partial x}}+y{\frac {\partial }{\partial y}}\right)^{j}f(0,0)+$ $+{\frac {1}{(n+1)!}}\left(x{\frac {\partial }{\partial x}}+y{\frac {\partial }{\partial y}}\right)^{n+1}f(\theta x,\theta y),$ con $\theta \in ]0,1[$. Ël cas particolar dla fórmola ëd Taylor cand n=1 as ciama teorema dla mojen-a dël càlcol diferensial për na fonsion z=f(x,y): $f(x_{1},y_{1})-f(x_{0},y_{0})={\frac {\partial f}{\partial x}}(\xi ,\eta )(x_{1}-x_{0})+{\frac {\partial f}{\partial y}}(\xi ,\eta )(y_{1}-y_{0})$, andoa che $(\xi ,\eta )$ a l'é antern al segment ch'a l'ha 'me estrem ij pont $(x_{0},y_{0}),(x_{1},y_{1})$.