Serie ëd Taylor

Ch'as considera na fonsion f, real ò complessa, e un nùmer $x_{0}$. La serie ëd Taylor d'f ant ël pont x, sentrà an $x_{0}$ a l'é la serie ëd potense $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(x_{0})}{k!}}(x-x_{0})^{k}$ anté che $f^{(k)}(x_{0})$ a denòta la derivà d'órdin k an $x_{0}$. Për che costa serie a sia definìa a venta che f a l'abia derivà ëd minca órdin an $x_{0}$. La serie ëd Taylor sentrà ant l'orìgin as ciama serie ëd Maclaurin. Ij troncament dla serie ëd Taylor as ciamo polinòmi ëd Taylor: ël polinòmi ëd Taylor d'órdin n d'f sentrà an $x_{0}$ a l'é ël polinòmi $p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(x_{0})}{k!}}(x-x_{0})^{k}$ Për ch'a sia definì a venta che la fonsion f a sia derivàbil an a fin-a a l'órdin k. Si f a l'é definìa an x, la diferensa $R_{n}(x)=f(x)-p_{n}(x)$ a l'é la resta d'órdin n an x. An general, bele si f a l'é definìa an x e a l'ha derivà ëd minca órdin an $x_{0}$, la serie ëd Taylor a podrìa converge nen. E ëdcò cand a convergg, l'arzultà a podrìa esse diferent da f(x). N'esempi a l'é la fonsion definìa da f(0)=0 e $f(x)=exp(-{\frac {1}{x^{2}}})$. Costa fonsion a l'é tant piata ant l'orìgin che $f^{(k)}(0)=0$ për minca k e donca la serie ëd Taylor associà a val 0 daspërtut e a convergg a f(x) mach për x=0. Dësvlupabilità an serie ëd Taylor Cand la serie ëd Taylor ëd na fonsion a convergg an n'antërval e an minca pont ëd s'antërval soa soma a l'é 'l valor ëd la fonsion, as dis che la fonsion a l'é dësvlupàbil an serie ëd Taylor con pont d'achit $x_{0}$ ant l'antërval. Teorema. Për che na fonsion f, derivàbil për qualsëssìa órdin ant l'antërval (a,b) dont ël pont $x_{0}$ a aparten-a, a sia dësvlupàbil an serie ëd Taylor a venta e a-i basta che për minca $x\in (a,b)$ la resta $R_{n}(x)$ a sia infinitésima. Da sòn a-i ven na condission suficenta për la dësvlupabilità. Teorema. Si la fonsion f a l'é derivàbil për qualsëssìa órdin ant l'antërval (a,b) e s'a-i son doi nùmer reaj L,M taj che për qualsëssìa antregh $n\geq 0$ e për minca $x\in (a,b)$ a val la disugualiansa $|f^{(n)}(x)|\leq ML^{n}$, antlora f a l'é dësvlupàbil an serie ëd Taylor ant l'antërval (a,b), për qualsëssìa pont d'achit $x_{0}$. Dimostrassion. La forma ëd Lagrange dla resta d'órdin n a smon $R_{n}(x)={\frac {(x-x_{0})^{n+1}}{(n+1)!}}f^{(n+1)}(\xi )$, anté che $\xi$ a l'é 'n valor convenient antra $x_{0}$ e x, visadì $\xi =x_{0}+\theta (x-x_{0})$, con $0<\theta <1$. Da j'ipòtesi a-i ven antlora che $|R_{n}(x)|\leq {\frac {(L(b-a))^{n+1}}{(n+1)!}}M\rightarrow 0$. Esempi ëd dësvlup Da 's darié criteri, a-i ven pr'esempi che le fonsion $e^{x},\sin x,\cos x$ a son dësvlupàbij an qualsëssìa antërval ch'a conten-a l'orìgin pijà tanme pont d'achit. Ij dësvlup a resto: $e^{x}=1+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\ldots +{\frac {x^{n}}{n!}}+\ldots$, $\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots +(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}+\ldots$, $\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\ldots +(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}+\ldots$