Teorìa dj'ansem ëd Bernays-Gödel

La teorìa dj'ansem ëd Bernays-Gödel BG (BGC an giontand-je l'assiòma ëd selession) a l'é n'assiomatisassion alternativa dla teorìa dj'ansem. Sò studi a l'é ancaminà con un travaj ëd Bernays dël 1937 e soa elaborassion a l'ha seghità fin-a al 1948. An costa teorìa a-i son doe qualità d'oget: j'ansem (denotà da litre minùscule) e le classe (denotà con litre majùscole). J'assiòma ëd BG a son: Assiòma d'estensionalità: $\forall u\ (u\in X\leftrightarrow u\in Y)\rightarrow X=Y$. Minca ansem a l'é na classa. Si $X\in Y$, antlora X a l'é n'ansem. Assiòma dla cobia: Per tuti j'ansem a e b a-i é l'ansem $\{a,b\}$. Prinsipi ëd comprension: Si $\varphi$ a l'é na fórmola ch'a l'ha gnun-e variàbij ëd classa quantificà, antlora $\forall X_{1},\ldots ,X_{n}\exists Y\ Y=\{x\mid \varphi (x,X_{1},\ldots ,X_{n})\}$. Assiòma dl'infinì: A-i é n'ansem infinì. Assiòma dl'union: Për minca ansem x a-i é l'ansem union $\bigcup x$. Assiòma dl'ansem potensa: Për minca ansem x a-i é l'ansem potensa ${\mathcal {P}}(x)$. Assiòma ëd rampiass: Si F a l'é na fonsion e x a l'é n'ansem, antlora $\{F(z)\mid z\in x\}$ a l'é n'ansem. Assiòma ëd regolarità: Minca ansem nen veuid a l'ha n'element minimal për la relassion d'apartenensa. La teorìa BGC a s'oten an giontand-je: 11. Assiòma ëd selession: A-i é na fonsion F tal che $F(x)\in x$ per minca ansem x ch'a sia nen veuid. Da già che tuti j'assiòma dla teorìa dj'ansem ZF a son dimostràbij an BG, tuti ij teorema ëd ZF a son ëdcò teorema ëd BG, e l'istess për ZFC e BGC. D'àotra part un teorema ëd Shoenfield publicà dël 1954, ch'a deuvra ëd técniche ëd teorìa dla dimostrassion, a fa vëdde che n'enonsià ch'a conten mach variàbij d'ansem dimostràbil an BG a l'é 'dcò dimostràbil an ZF. An dovrand técniche ëd forsament, as vëd che sòn a resta vera an tra le teorìe BGC e ZFC.