Cardinalità

Le definission J'ansem A e B as diso avèj la midema cardinalità, o esse equipotent, s'a esist na bijession antra A e B. Costa definission a concòrda con l'antuission për j'ansem finì. Soa aplicassion a j'ansem infinì a men-a però a dle conseguense ch'a peulo smijé contra l'antuission. Për esempi, n'ansem finì a peul nen avèj la midema cardinalità d'un sò sot-ansem pròpi, antant che l'ansem dij nùmer naturaj $\mathbb {N}$ a l'é equipotent con $\mathbb {N} \setminus \{0\}$ a travers dla fonsion $x\mapsto x+1$. Dl'istessa manera, l'antërval real duvert ]0,1[ a l'ha l'ha midema cardinalità ëd l'antërval ]0,2[, 'me ch'a l'é mostrà da la corëspondensa $x\mapsto 2x$. As dis che l'ansem A a l'ha na cardinalità pi cita o ugual a cola dl'ansem B si A a l'é equipotent a 'n sot-ansem ëd B o, ëd fasson equivalenta, s'a esist n'iniession da A a B. Chèich propietà Minca ansem a l'é equipotent con chiel-midem. Sòn a l'é testimonià da la fonsion identità. Si A a l'é equipotent con B, antlora B a l'é equipotent con A. An efet, si f a l'é na bijession antra A e B, antlora soa anversa $f^{-1}$ a l'é na bijession antra B e A. Si A a l'é equipotent con B e B a l'é equipotent con C, antlora A a l'é equipontent con C. An efet, si f a l'é na bijession antra A e B e g a l'é na bijession antra B e C, antlora soa composission gf a l'é na bijession antra A e C. Ansem finì e infinì N'ansem A as dis finì s'a-i é un nùmer natural n tal che A a l'é equipotent con $\{0,1,\ldots ,n-1\}$. N'ansem ch'a l'é nen finì as dis infinì.