Operassion

Consideroma n'ansem E (ëd sòlit nen veuid). As dis operassion (binaria), o laj ëd composission anterna ansima a E qualsëssìa fonsion $f:E\times E\to E$, andoa $E\times E$ a l'é 'l prodot cartesian d'E për chiel-midem. L'operassion a assòcia donca a minca cobia ordinà $(a,b)\in E\times E$ n'element $c=f(a,b)\in E$ ch'as ciama arzultà dl'operassion f aplicà a la cobia ordinà (a,b). Si $\circ$ a l'é n'operassion ansima a n'ansem E, soens as deuvra la notassion mesan-a, an ëscrivend $a\circ b$ pitòst che $\circ (a,b)$. An dotand n'ansem E ëd n'operassion $\circ$ as oten n'esempi dë strutura algébrica $(E,\circ )$. Si $\circ$ a l'é n'operassion an sl'ansem E e $A\subseteq E$, as dis che A a l'é stàbil rëspet a l'operassion si $\forall a,b\in A,a\circ b\in A$. Esempi Ant la strutura $(\mathbb {N} ,+)$ l'ansem dij nùmer cobi a l'é stàbil, përchè l'adission ëd doi nùmer cobi a l'é sempe 'n nùmer cobi. Nopà, l'ansem dij nùmer dëscobi a l'é nen ëstàbil. Ant la strutura $(\mathbb {N} ,\cdot )$ l'ansem dij nùmer cobi e l'ansem dij nùmer dëscobi a son tuti doi stàbij, përchè la multiplicassion ëd doi nùmer cobi a l'é cobia e la multiplicassion ëd doi nùmer dëscobi a l'é dëscobia. Propietà dj'operassion Consideroma n'operassion $\circ$ definìa an sn'ansem E. A peul esse anteressant ëstudié vàire propietà che l'operassion a peul sodësfé. Propietà associativa As dis che l'operassion $\circ$ a l'é associativa si $\forall a,b,c\in E,(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$. Ant ës cas-sì, a-i é nen damanca ëd buté le paréntesi cand as fan d'aplicassion sucessive dl'operassion: i podoma bele mach ëscrive $a\circ b\circ c$ dagià che col ch'a sia l'órdin anté che j'operassion a son calcolà, l'arzultà a cambia pa. L'istess a resta vàlid s'i l'oma pì che un terno d'element. Na strutura algébrica dotà ëd n'operassion associativa a l'é ciamà semistrop. Propietà comutativa J'element a,b as diso përmutàbij si $a\circ b=b\circ a$. As dis che l'operassion $\circ$ a l'é comutativa si $\forall a,b\in E,a\circ b=b\circ a$. Element neutral N'element $u\in E$ a l'é dit neutral (o idèntich, o indiferent) për l'operassion $\circ$ si $\forall a\in E,u\circ a=a\circ u=a$. Si la strutura $(E,\circ )$ a l'ha n'element neutral, a-i në j'é mach un: an efet, si u e v a fusso tuti doi d'element neutraj, i l'avrìo $u=u\circ v=v$. Notassion comun-e për andiché l'element neutral an na strutura a son 1 (o $1_{E}$, ciamà un) cand l'operassion a l'é denotà ëd fasson multiplicativa $\cdot$, opura 0 (o $0_{E}$, ciamà zero) si l'operassion a l'é scrivùa ëd fasson aditiva +. Element surbent N'element $u\in E$ a l'é sit surbent për l'operassion $\circ$ si $\forall a\in E,u\circ a=a\circ u=u$. Esempi d'element surbent a son 0 për la multiplicassion e $\emptyset$ për l'antërsession. Propietà ch'a ìmplico vàire operassion A-i é ëd propietà anteressante ch'a rësguardo vàire operassion considerà ansema. Ch'as consìdero doe operassion $\circ _{1}$ e $\circ _{2}$ tute doe definìe ansima a E. Distributività As dis che $\circ _{1}$ a l'é distributiva rëspet a $\circ _{2}$ si, për tuti j'$a,b,c\in E$, $a\circ _{1}(b\circ _{2}c)=(a\circ _{1}b)\circ _{2}(a\circ _{1}c)$ e $(a\circ _{2}b)\circ _{1}c=(a\circ _{1}c)\circ _{2}(b\circ _{1}c)$. Morfism Consideroma n'operassion $\circ _{1}$ ansima a n'ansem $A_{1}$ e n'operassion $\circ _{2}$ ansima a n'ansem $A_{2}$. Na fonsion $\mu :A_{1}\to A_{2}$ a l'é dita morfism ëd le struture $(A_{1},\circ _{1}),(A_{2},\circ _{2})$ s'a l'é compatìbil con j'operassion, visadì $\forall a,b\in A_{1},\mu (a\circ _{1}b)=\mu (a)\circ _{2}\mu (b)$. Esempi La fonsion $\mu :\mathbb {N} \to \mathbb {N} ,\mu (x)=2x$ a l'é 'n morfism antra le struture $(\mathbb {N} ,+)$ e $(\mathbb {N} ,+)$, ma nen antra le struture $(\mathbb {N} ,\cdot )$ e $(\mathbb {N} ,\cdot )$. La fonsion esponensial $x\mapsto e^{x}$ a l'é un morfism antra le struture $(\mathbb {R} ,+)$ e $(\mathbb {R} ,\cdot )$. Chèich propietà dij morfism Ch'as consìdera un morfism $\mu :A_{1}\to A_{2}$ antra le struture $(A_{1},\circ _{1}),(A_{2},\circ _{2})$. La plancia $\mu (A_{1})\subseteq A_{2}$ a l'é 'n sot-ansem ëstàbil d'$A_{2}$. Si x,y a son element përmutàbij d'$A_{1}$, antlora μ(x),μ(y) a son element përmutàbij d'$A_{2}$. Si u a l'é element neutral d'$A_{1}$, antlora μ(u) a l'é element neutral d'$A_{2}$.