Relassion d'órdin

Na relassion binaria $\leq$ ansima a n'ansem A a l'é dita relassion d'órdin (parsial) s'a l'é riflessiva, transitiva e anti-simétrica. La relassion d'órdin $\leq$ ansima a A a l'é ciamà n'órdin total si, an dzorpì, a val la propietà che për minca $x,y\in A$, almanch un-a dle relassion $x\leq y$ o $y\leq x$ a val. Ant ës cas-si, as dis che l'ansem A a l'é ordinà an manera total, o na caden-a. Un sot-ansem P ëd n'ansem ordinà (an manera parsial) $(A,\leq )$ a l'é dit n'anti-caden-a si për minca $x,y\in P$, si $x\leq y$ antlora x=y. Si da na relassion d'órdin as gava la diagonal, visadì as definiss $x<y\Leftrightarrow x\leq y\wedge x\neq y$, as oten na relassion < d'órdin s-ciass. Element ëspeciaj ëd n'órdin Ch'as consìdera un sot-ansem X ëd n'órdin parsial $(A,\leq )$ e n'element $p\in A$. L'element p a l'é: un minorant d'X si $p\leq x$ për minca $x\in X$; estrem anferior d'X s'a l'é ël pì gròss dij minorant, visadì s'a l'é un minorant e, an dzorpì, për minca minorant y d'X a val $y\leq x$; mìnim d'X s'a l'é n'estrem anferior d'X ch'a aparten a X; un magiorant d'X si $x\leq p$ për minca $x\in X$; estrem superior d'X s'a l'é 'l pì cit dij magiorant, visadì s'a l'é un magiorant e, an dzorpì, për minca magiorant y d'X a val $x\leq y$; màssim d'X s'a l'é n'estrem superior d'X ch'a aparten a X. Pijà n'element $a\in X$ i disoma che a a l'é: minimal an X si për tut element $x\in X$ tal che $x\leq a$, i l'oma a=x; massimal an X si për tut element $x\in X$ tal che $a\leq x$, i l'oma a=x. L'estrem anferior d'un sot-ansem X as denòta infX; l'estrem superior as denòta supX. N'órdin parsial anté che për minca $a,b$ a-i son sia inf{a,b} che sup{a,b} a l'é un retìcol. N'órdin parsial andoa minca caden-a (comprèisa cola veuida) a l'ha n'estrem superior as dis andutiv. Esempi Për minca ansem A, l'ansem potensa ${\mathcal {P}}(A)$ sota la relassion d'anclusion a l'é andutiv. Dàit doi ansem A e B, l'ansem dle fonsion parsiaj, definìe ansima a 'n sot-ansem d'A a valor an B, sota la relassion d'anclusion, a l'é andutiv. Isomorfism Ch'as consìdero j'órdin $(P,\leq _{P})$ e $(Q,\leq _{Q})$. N'isomorfism antra ij doi órdin a l'é qualsëssìa bijession $f:P\to Q$ tal che, për minca $x,y\in P$, $x\leq _{P}y\Leftrightarrow f(x)\leq _{Q}f(y)$. S'a-i é n'isomorfism antra P e Q, ij doi órdin as diso isomorf. Operassion an sj'órdin A-i son vàire manere për fabriché n'órdin neuv an partend da órdin dàit. L'union disgionzùa o soma orisontal ëd doi órdin disgionzù $(A,\leq _{A}),(B,\leq B)$ a l'é l'órdin $\leq$ definì ansima $A\cup B$ an butand $x\leq y$ si e mach si: $x,y\in A$ e $x\leq _{A}y$, opura $x,y\in B$ e $x\leq _{B}y$. La soma linear o soma vertical ëd doi órdin disgionzù $(A,\leq _{A})$ e $(B,\leq _{B})$ a l'é l'órdin $\leq$ ansima a $A\cup B$ definì an butand $x\leq y$ si e mach si: $x,y\in A$ e $x\leq _{A}y$, opura $x,y\in B$ e $x\leq _{B}y$, opura $x\in A,y\in B$. Órdin totaj Ansem satì Un sot-ansem B ëd n'órdin total A a l'é dit satì an A si $\forall x,y\in A,x<y\Rightarrow \exists b\in B,x<b<y$. Órdin complet N'órdin total a l'é complet si minca sot-ansem nen veuid ch'a l'ha un magiorant a l'ha n'estrem superior. Esempi L'órdin dij rassionaj a l'é nen complet, përchè l'ansem $\{r\in \mathbb {Q} \mid r^{2}<2\}$ a l'é limità da dzora ma a l'ha gnun estrem superior. Bon órdin Un bon órdin a l'é n'órdin total anté che tut sot-ansem nen veuid a l'ha un mìnim.