Spassi ëd Baire

As ciama spassi ëd Baire lë spassi topològich $\mathbb {N} ^{\mathbb {N} }$ ëd tute le sequense ëd nùmer naturaj dotà dla topologìa prodot. Na base dla topologìa a l'é fornìa da la famija dj'ansem $N_{s}=\{x\in \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }\mid s\subseteq x\}$, anté che s a varia trames a le sequense finìe ëd nùmer naturaj. As agiss ëd në spassi polonèis. Na distansa completa ansima a $\mathbb {N} ^{\mathbb {N} }$ a l'é definìa da $d(x,y)=\left\{{\begin{array}{ll}0&{\mbox{si }}x=y\\{\frac {1}{2^{n}}}&{\mbox{si }}n{\mbox{ a l'é mìnim tal che }}x(n)\neq y(n)\end{array}}\right.$. Le propietà ëd continuità La continuità ant lë spassi ëd Baire a l'ha na sempia antërpretassion combinatòria ch'a ven motobin a taj ant j'aplicassion. Teorema. Na fonsion $f:\mathbb {N} ^{\mathbb {N} }\to \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }$ a l'é continua si e mach si a-i é na fonsion monotòna $\tau :\mathbb {N} ^{<\omega }\to \mathbb {N} ^{<\omega }$ an sle sequense finìe tal che $f(x)=\bigcup \{\tau (u)\mid u\subseteq x\}$. Dimostrassion. Si la condission a l'é sodësfàita, antlora $f(x)\in N_{v}\Leftrightarrow \exists u\subseteq x,v\subseteq \tau (u)$, visadì $f^{-1}(N_{v})=\bigcup \{N_{u}\mid v\subseteq \tau (u)\}$, ch'a l'é n'union d'ansem duvert e donca f a l'é continua. Për la diression anversa, admetoma che f a sia continua. Definioma $S(u)=\{v\in \mathbb {N} ^{<\omega }\mid f(N_{u})\subseteq N_{v}\}$. Minca S(u) a l'é nen veuid, përchè $\emptyset \in S(u)$. An dzorpì, $v\subseteq v'\in S(u)\Rightarrow v\in S(u)$ e $\forall v,v'\in S(u),f(N_{u})\subseteq N_{v}\cap N_{v'}\neq \emptyset$, dont v e v' a son confrontàbij. A venta adess fé na distinsion antra doi cas possìbij. Prim cas: A-i é chèich $v\in S(u)$, për fòrsa ùnich, ch'a l'ha la midema longheur che u. As definiss antlora τ(u) ugual a col v. Scond cas: A-i é gnun $v\in S(u)$ con la midema longheur d'u. As definiss antlora τ(u) ugual al pì longh $v\in S(u)$. Dagià che $u_{1}\subseteq u_{2}\Rightarrow S(u_{1})\subseteq S(u_{2})$, a-i ven che τ a l'é na fonsion monotòna. Da $\tau (u)\in S(u)$, a-i ven che $u\subseteq x\in \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }\Rightarrow \tau (u)\subseteq f(x)$. An dzorpì, dagià che f a l'é continua, si $v\subseteq f(x)$, a-i é chèich $u\subseteq x$ tal che $f(N_{u})\subseteq N_{v}$, donca $v\in S(u)$. Antlora, si τ(u) a l'é definì conforma al second cas, i l'oma $v\subseteq \tau (u)$; dësnò a-i é $u'\supseteq u$ ëd la midema longheur che v e tal che $v=\tau (u')$.