Teorema ëd Hahn-Banach

Forma analìtica La forma analìtica dël teorema ëd Hahn-Banach a rësguarda lë slongament ëd forme linear. Consideroma në spassi vetorial E ansima a $\mathbb {R}$ e na fonsion $p:E\to \mathbb {R}$ ch'a l'abia le propietà: p(λx)=λp(x) për minca $x\in E$ e minca λ>0; $p(x+y)\leq p(x)+p(y)$. Ch'a consìdero peui un sot-ëspassi vetorial $G\subseteq E$ e na forma linear $g:G\to \mathbb {R}$ tal che $g(x)\leq p(x)$ për minca $x\in G$. Antlora a esist na forma linear f definìa ansima a E e ch'a slonga g, visadì tal che g(x)=f(x) për minca $x\in G$, con la propietà che $\forall x\in E,f(x)\leq p(x)$. La dimostrassion La dimostrassion d'ës teorema a deuvra ël lema ëd Zorn. Ch'as consìdera l'ansem P ëd tute le forme linear h con domini un sot-ëspassi vetorial d'E ch'a slongo g e ch'a l'ha la propietà che, për tuti j'x an sò domini, $h(x)\leq p(x)$. An s'ansem definioma na relassion d'órdin an butand $h_{1}\leq h_{2}$ si e mach si $h_{2}$ a slonga $h_{1}$. I l'oma che P a l'é nen veuid, dagià che $g\in P$. Verificoma che P a l'é n'asem andutiv. Për sòn, pijoma na caden-a Q e definioma na fonsion h con domini l'union ëd tuti ij domini dj'element ëd P e con valor h(x)=k(x) për qualsëssìa $k\in Q$ ch'a l'abia x an sò domini. Dagià che Q a l'é na caden-a, costa definission a l'ha 'd sust e h a l'é 'n magiorant ëd l'ansem Q. Për ël lema ëd Zorn, ciamoma f n'element massimal ëd P. A basta antlora fé vëdde che ël domini F d'f a l'é tut E. Si sòn a fussa nen vera, pijoma $x_{0}\in E-F$. Consideroma ël sot-ëspassi $D=F\oplus {\mathcal {L}}(x_{0})$. I voroma definì na fonsion h con domini D an butand $h(x+tx_{0})=f(x)+t\alpha$ për minca x an F e minca nùmer real t. Ma i voroma ëdcò che $h\in P$, visadì che $f(x)+t\alpha \leq p(x+tx_{0})$ për minca $x\in F$ e $t\in \mathbb {R}$. Për sòn a basta avèj le disugualianse $f(x)+\alpha \leq p(x+x_{0})$ e $f(x)-\alpha \leq p(x-x_{0})$. Ma antlora a basta serne α an manera che $\sup _{y\in F}\{f(y)-p(y-x_{0})\}\leq \alpha \leq \inf _{x\in F}\{p(x+x_{0})-f(x)$, lòn ch'a l'é possìbil, dagià che për minca $x,y\in F$ i l'oma $f(y)-p(y-x_{0})\leq p(x+x_{0})-f(x)$ mersì a le relassion $f(x)+f(y)\leq p(x+y)\leq p(x+x_{0})+p(y-x_{0})$ ch'an ven-o j'ipòtesi ansima a p. Forme geométriche Ch'as consìdera në spassi vetorial normà E e doi sot-ansem bombà A e B d'E, nen veuid e disgionzù. Prima forma geométrica Suponoma che A a sia duvert. Antlora a esist n'iperpian sarà d'equassion f=α, con f continua, ch'a separa A e B an sens largh, visadì $\forall x\in A,\forall y\in B,f(x)\leq \alpha \leq f(y)$. Sconda forma geométrica Suponoma che A a sia sarà e B a sia compat. Antlora a esist n'iperpian sarà d'equassion f=α, con f continua, ch'a separa A e B an sens ës-ciass, visadì $\forall x\in A,\forall y\in B,f(x)<\alpha <f(y)$. Aplicassion Ël teorema ëd Hahn-Banach a l'ha vàire aplicassion, për esempi ël teorema ëd Krein-Milman.