Ipérbol

L'ipérbol a l'é ël leu dij pont ant un pian pr'ij quaj a resta costanta la diferensa antra le distanse da doi pont fissà, ciamà ij feu. L'equassion cartesian-a Fissoma un sistema ëd coordinà cartesian-e con l'ass dj'assisse an sla reta pr'ij feu e orìgin pont mesan antra ij doi feu. Donca ij feu a resto dij pont ëd coordinà F(c,0),F'(-c,0). As sërca ël leu dij pont P pr'ij quaj d(P,F)-d(P,F')=2a, visadì ${\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}-{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}=2a$. An isoland un radical, ${\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}=2a+{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}$. Alvand al quadrà i otnoma $x^{2}-2cx+c^{2}+y^{2}=4a^{2}+x^{2}+2cx+c^{2}+y^{2}+4a{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}$. An semplificand e an isoland ël radical restaje, $-cx-a^{2}=a{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}$. As peul torna alvesse al quadrà e semplifiché. A resta $(c^{2}-a^{2})x^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2}(c^{2}-a^{2})$. Dagià che d(F,F')>d(P,F)-d(P,F'), visadì c>a, i podoma scrive $b^{2}=c^{2}-a^{2}$. L'equassion a dventa antlora $b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}$. An dividend për $a^{2}b^{2}$ i otnoma la forma normal ëd l'ipérbol ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$. L'ipérbol a toca nen l'ass dj'ordinà e a ancreusia col dj'assisse ant ij pont ëd coordinà $(0,\pm a)$.