Cònica: sercc , eliss , paràbola e ipérbol L'ipérbol a l'é ël leu dij pont ant un pian pr'ij quaj a resta costanta la diferensa antra le distanse da doi pont fissà, ciamà ij feu .
Fissoma un sistema ëd coordinà cartesian-e con l'ass dj'assisse an sla reta pr'ij feu e orìgin pont mesan antra ij doi feu.
Donca ij feu a resto dij pont ëd coordinà F(c,0),F'(-c,0).
As sërca ël leu dij pont P pr'ij quaj
d(P,F)-d(P,F')=2a, visadì
(
x
−
c
)
2
+
y
2
−
(
x
+
c
)
2
+
y
2
=
2
a
{\displaystyle {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}-{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}=2a}
An isoland un radical ,
(
x
−
c
)
2
+
y
2
=
2
a
+
(
x
+
c
)
2
+
y
2
{\displaystyle {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}=2a+{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}}
Alvand al quadrà i otnoma
x
2
−
2
c
x
+
c
2
+
y
2
=
4
a
2
+
x
2
+
2
c
x
+
c
2
+
y
2
+
4
a
(
x
+
c
)
2
+
y
2
{\displaystyle x^{2}-2cx+c^{2}+y^{2}=4a^{2}+x^{2}+2cx+c^{2}+y^{2}+4a{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}}
An semplificand e an isoland ël radical restaje,
−
c
x
−
a
2
=
a
(
x
+
c
)
2
+
y
2
{\displaystyle -cx-a^{2}=a{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}}
As peul torna alvesse al quadrà e semplifiché.
A resta
(
c
2
−
a
2
)
x
2
−
a
2
y
2
=
a
2
(
c
2
−
a
2
)
{\displaystyle (c^{2}-a^{2})x^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2}(c^{2}-a^{2})}
Dagià che d(F,F')>d(P,F)-d(P,F'), visadì c>a, i podoma scrive
b
2
=
c
2
−
a
2
{\displaystyle b^{2}=c^{2}-a^{2}}
b
2
x
2
−
a
2
y
2
=
a
2
b
2
{\displaystyle b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}}
An dividend për
a
2
b
2
{\displaystyle a^{2}b^{2}}
forma normal ëd l'ipérbol
x
2
a
2
−
y
2
b
2
=
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}
L'ipérbol a toca nen l'ass dj'ordinà e a ancreusia col dj'assisse ant ij pont ëd coordinà
(
0
,
±
a
)
{\displaystyle (0,\pm a)}
