Logaritm ëd Napier

La fonsion ${\frac {1}{x}}$ a l'é na fonsion continua an sla semireta $\mathbb {R} ^{+}$. Donca a esisto dle fonsion, definìe a manch ëd na costanta aditiva ansima a $\mathbb {R} ^{+}$, ch'a son le primitive d'${\frac {1}{x}}$, visadì dont la derivà a l'é ${\frac {1}{x}}$. As ciama logaritm (ëd Napier) cola dle primitive d'${\frac {1}{x}}$ ch'as anula për x=1. A l'é denotà logx. Chèiche propietà dël logaritm Da la definission a-i ven che log x a l'é na fonsion derivàbil, e donca continua. Dagià che soa derivà a l'é positiva, as trata ëd na fonsion chërsenta. Fórmola fondamental Fissoma un nùmer real a>0 e consideroma la fonsion definìa ansima a $\mathbb {R} ^{+}$ da $f_{a}(x)=\log ax$. Costa fonsion a l'é derivàbil e soa derivà a l'é $f_{a}'(x)={\frac {a}{ax}}={\frac {1}{x}}$. Donca $f_{a}(x)-\log x$ a l'é na costanta, ugual a $f_{a}(1)=\log a$. Da sòn a-i ven la fórmola fondamental ch'a fortiss che, për qualsëssìa nùmer reaj positiv a,b, logab=loga+logb. Da costa as oten che për minca real a>0 e minca natural n, a val l'ugualiansa $\log a^{n}=n\log a$ e, pì an general, $\log a^{r}=r\log a$ për qualsëssìa nùmer rassional r. Parèj as oten ëdcò che $\log {\frac {a}{b}}=\log a-\log b$, si a e b a son positiv. Lìmit La sequensa $\log 2^{n}=n\log 2$ a divergg a $+\infty$, dagià che log2>log1=0. Sòn e la chërsensa dla fonsion a ìmplico che $\lim _{x\rightarrow +\infty }\log x=+\infty$. Da la relassion $\log {\frac {1}{y}}=-\log y$ a-i ven ëdcò che $\lim _{x\rightarrow 0^{+}}\log x=-\infty$. Ël dësvlup dël logaritm La fonsion logaritm a peul esse dësvlupà tanme: $\log(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\ldots$.