Mzura ëd Hausdorff

La definission Consideroma në spassi métrich X e un sot-ansem S d'X. Për minca nùmer real $p\geq 0$ definioma $\delta ^{p}(S)=[diam(S)]^{p}$, con le convension $\delta ^{0}(S)=1$ si $S\neq \emptyset$ e $\delta ^{p}(\emptyset )=0$. Për minca nùmer real ε>0 denotoma σ(S,p,ε) l'ansem ëd tute le some dla forma $\sum _{j=0}^{\infty }\delta ^{p}(S_{j})$ anté che $(S_{j})$ a son ëd sequense ëd sot-ansem d'X taj che $S\subseteq \cup _{j\in \mathbb {N} }S_{j}$ e, për tuti j'ìndes j, $diam(S_{j})<\varepsilon$. Butoma peui $\Lambda _{\varepsilon }^{p}(S)=\inf \sigma (S,p,\varepsilon )$. Dagià che $\varepsilon '\leq \varepsilon \Rightarrow \sigma (S,p,\varepsilon ')\subseteq \sigma (S,p,\varepsilon )$, i l'oma che $\Lambda _{\varepsilon }^{p}$ a l'é nen chërsenta tanme na fonsion d'ε. As definiss la mzura ëd Hausdorff p-dimensional $\Lambda ^{p}(S)$ d'S an butand $\Lambda ^{p}(S)=\sup\{\Lambda _{\varepsilon }^{p}(S)\mid \varepsilon >0\}=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\Lambda _{\varepsilon }^{p}(S)$. Chèiche propietà $\Lambda ^{0}$ a l'é la mzura ch'a conta ij pont, visadì $\Lambda ^{0}(S)$ a l'é la cardinalità d'S si S a l'é finì, dësnò a val $+\infty$. Për minca $p\geq 0$, la fonsion $\Lambda ^{p}$ a l'é na mzura esterior ansima a X tal che j'ansem borielian a son ëmzuràbij. Si $S\subseteq X$ a l'é tal che $\Lambda ^{p}$ a l'é localman finìa ansima a S (visadì për minca $x\in S$ a-i é n'anviron I d'x tal che $\Lambda ^{p}(S\cap I)<+\infty$) e p'>p, antlora $\Lambda ^{p'}(S)=0$. Si X a l'é na varietà riemannian-a ëd dimension m e p a l'é n'antregh positiv pì cit che m, antlora $\Lambda ^{p}$ a l'é localman finìa ansima a mica sot-varietà p-dimensional d'X. Si $f:X\to Y$ a l'é na fonsion lipschitzian-a antra spassi métrich ëd costanta λ, antlora për minca sot-ansem $S\subseteq X$ e për minca p>0 a val la relassion $\Lambda ^{p}(f(S))\leq \lambda ^{p}\Lambda ^{p}(S)$.