Prinsipi dij tiroj ëd Dirichlet

Ël prinsipi dij tiroj ëd Dirichlet, o prinsipi dla colombera, a fortiss che si n oget a son piassà an k scàtole, andoa n e k a son d'antregh positiv e n>k, antlora almanch na scàtola a conten pì che n'oget. Cost prinsipi a peul esse formolà an fortend che minca iniession $f:A\to A$ ëd n'ansem finì andrinta a chiel-midem a l'é ëdcò na suriession. La dimostrassion A basta prové che, për tuti ij nùmer naturaj m , minca iniession $g:\{0,\ldots ,m-1\}\to \{0,\ldots ,m-1\}$ a l'é na suriession. La dimostrassion as fa për andussion ansima a m. Base La base dl'andussion a ven dlongh: si m=0 o m=1 a-i é mach na fonsion g possìbil, e a l'é na bijession. Pass d'andussion Admetoma l'arzultà për chèich m>0 e dimostroma che minca iniession $g:\{0,\ldots ,m\}\to \{0,\ldots ,m\}$ a l'é n'iniession. A-i son tre cas da consideré. Prim cas Ël nùmer m a l'é nen ant la plancia ëd g. Ch'as consìdera la restrission h ëd g a {0,...,m-1}. Costa a l'é n'iniession e soa plancia a l'é contnùa an {0,...,m-1}. Për l'ipòtesi d'andussion, as oten che la plancia d'h a l'é {0,...,m-1}. Ma sòn a l'é impossìbil, dagià che ëdcò g(m)<m e g a l'é n'iniession. Scond cas g(m)=m. Antlora la restrission h ëd g a {0,...,m-1} a l'é torna n'iniession e donca na bijession. Donca ëdcò g a l'é na bijession. Ters cas Ël ters cas, ël pì anteressant, a l'é cand a esisto dij nùmer u,v<m taj che g(u)=m, g(m)=v. Antlora, ch'as definissa la fonsion $h:\{0,\ldots ,m\}\to \{0,\ldots ,m\}$ për mojen dj'equassion ${\begin{array}{lcl}h(i)=g(i)&{\mbox{si}}&u\neq i<m,\\h(u)=v.&&\end{array}}$ Antlora h a l'é n'iniession, përchè a va d'acòrd con g ansima a tuti j'argoment gavà u, anté ch'a pija ël valor v; d'àutra part $g(j)\neq v$ për tut j<m. L'ipòtesi d'andussion a spòrz antlora che la plancia d'h a l'é tut {0,...,m} e da sòn a-j ven che ëdcò g a l'é surietiva. D'àutre formolassion Na formolassion alternativa dël prinsipi a l'é che minca suriession $f:A\to A$ da n'ansem finì an chiel-midem a l'é n'iniession.