Strop ëd përmutassion

Në strop ëd përmutassion ansima a n'ansem $X$ a l'é në strop G dont j'element a son ëd përmutassion d'$X$ e l'operassion a l'é la composission ëd fonsion. La cardinalità d'X a l'é ciamà gré ëd G e j'element d'X a son soens ciamà litre. La colession ëd tute le përmutassion d'$X$ a l'é soens denotà $Sym(X)$. Dagià che la composission ëd fonsion a l'é associativa, che l'identità ansima a $X$ a l'é na përmutassion e che l'anversa ëd minca përmutassion a l'é na përmutassion, a arzulta che $Sym(X)$ a l'é në strop, ciamà strop simétrich dzora X, e che jë strop ëd përmutassion ansima a $X$ a son tuti ij sot-ëstrop ëd $Sym(X)$. S'a-i son almanch 3 litre, Sym(X) a l'é nen abelian. An efet, al concet dë strop ëd përmutassion a l'é d'aotut general trames a jë strop, për via dël teorema sì da press. Teorema. Minca strop $G$ a l'é isomòrfich a në strop ëd përmutassion ansima a $G$. Dimostrassion. La fonsion $f:a\in G\mapsto a^{*}\in Sym(G)$ definìa da $a^{*}(g)=ag$ per tuti ij $g\in G$ a l'é n'isomorfism tra $f$ e soa plancia. Minca strop ëd përmutassion G a agiss an sl'ansem ëd soe litre X con n'assion $G\times X\to X$ definìa da gx=g(x). Strop ëd sostitussion Cand X a l'é n'ansem finì con n element, antlora Sym(X) a l'ha n! element e le përmutassion d'X a son ëdcò ciamà sostitussion. Ël sot-ansem dle sostitussion par a l'ha ${\frac {n!}{2}}$ element e a l'é 'n sot-ëstrop normal ëd Sym(X); a l'é ciamà strop alternà. Isomorfism dë strop ëd përmutassion Si G a l'é në strop ëd përmutassion ansima a X e H a l'é në strop ëd përmutassion ansima a Y, n'isomorfism an tra la cobia (X,G) e la cobia (Y,H) a l'é na cobia (T,U) anté che $T:X\to Y$ a l'é na bijession, $U:G\to H$ a l'é n'isomorfism dë strop e $T\circ g(a)=U(g)\circ T(a)$ për minca $a\in X,g\in G$. Si (X,G) e (Y,H) a son isomòrfich, antlora jë strop G e H a son isomòrfich e j'ansem X e Y a l'han la midema cardinalità, ma G e H a peulo esse dë strop isomòrfich e X e Y a peulo avèj la midema cardinalità sensa che (X,G) e (Y,H) a sio isòmorfich tanme strop ëd përmutassion.