Teorema ëd categorìa ëd Baire

Ël teorema ëd categorìa ëd Baire a fortiss che an në spassi métrich complet, l'antërsession ëd minca famija numeràbil ëd sot-ansem duvert satì a l'é satìa. N'àutra formolassion a l'é che l'union ëd na famija numeràbil ëd sot-ansem sarà con anterior veuid a l'ha anterior veuid. Cost teorema a l'é stàit dimostrà ëd fasson indipendenta da Osgood dël 1898 e da Baire dël 1899. La dimostrassion Ch'as consìdero j'ansem duvert satì $O_{n}$ e ch'as denòta $G=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }O_{n}$. A ventà dimostré che G a l'é satì. Ch'as fissa antlora n'ansem duvert e nen veuid U, un pont $x_{0}\in U$ e un nùmer $r_{0}>0$ taj che ${\overline {{\mathcal {B}}_{r_{0}}(x_{0})}}\subseteq U$, anté che ${\mathcal {B}}_{r}(x)$ a l'é la sfera ëd sènter x e raj r. Dagià che $O_{0}$ a l'é duvert e satì, a-i son $x_{1}\in {\mathcal {B}}_{r_{0}}(x_{0})\cap O_{0}$ e $0<r_{1}<{\frac {r_{0}}{2}}$ taj che ${\overline {{\mathcal {B}}_{r_{1}}(x_{1})}}\subseteq {\mathcal {B}}_{r_{0}}(x_{0})\cap O_{0}$. Për andussion as peulo antlora definì dle sequense $x_{n},r_{n}$ taj che $\left\{{\begin{array}{l}{\overline {{\mathcal {B}}_{r_{n+1}}(x_{n+1})}}\subseteq {\mathcal {B}}_{r_{n}}(x_{n})\cap O_{n},\\0<r_{n+1}<{\frac {r_{n}}{2}}\end{array}}\right.$. Donca $x_{n}$ a l'é na sequensa ëd Cauchy. Ch'as denota con $z$ sò lìmit. Dagià che $\forall n,p\in \mathbb {N} ,x_{n+p}\in {\mathcal {B}}_{r_{n}}(x_{n})$, al lìmit për $p\rightarrow \infty$ as oten $\forall n\in \mathbb {N} ,z\in {\overline {{\mathcal {B}}_{r_{n}}(x_{n})}}$. An particolar, $z\in U\cap G$.