Criteri ëd Cauchy

Criteri ëd Cauchy për le sequenseModifiché

Dàita na sequensa ant në spassi métrich, as dis che sa sequensa a l'é na sequensa ëd Cauchy o ch'a sodisfa 'l criteri ëd Cauchy si për minca nùmer real a-i é 'n nùmer natural N tal che për tuti ij naturaj e la distansa an tra e a l'é pì cita che .

EsempiModifiché

Butoma për esempi che a sia nen dechërsenta e limità dëdzora. Sòn a veul dì che:

,
.

Si a fussa nen ëd Cauchy, a-i sarìa tal che

.

An particolar, pijà N=0, i trovoma taj che . Pijoma adess ; i trovoma taj che . Andasend anans përparèj, i trovoma na sot-sequensa tal che , contra l'ipòtesi ëd limitatëssa.

Për esempi, consideroma la sequensa definìa ëd fasson andutiva da

,
,

anté che a l'é 'n natural, b>0 e a>0 a son taj che . Antlora as peul mostresse për andussion che , e an efet , e donca la sequensa a l'é ëd Cauchy.
Si , antlora : an efet dagià che da λ=0 a jë vnirìa che , contra ; e antlora an passand al lìmit ant la relassion arcorenta i l'oma .
Tutun, fissà un rassional positiv b, an general a-i é nen un rassional λ tal che . Donca cost a resta n'esempi ëd na sequensa ëd Cauchy an nen convergenta (an ).

  • N'àutr esempi ëd sequensa ëd Cauchy ëd rassionaj nen convergenta an a l'é la sequensa chërsenta
.

Pr'ës-ciairé ch'a l'é limità, as fa vëdde che

.

An efet, e donca

.

S'a fussa , i l'avrìo , d'anté ch'a-i ven che

con . Sòn a ìmplica che

.

Pijà n>q, as treuva che

,

andoa

.

Ma , dagià che

Donca a peul nen converge a 'n nùmer antregh.

Criteri ëd Cauchy e convergensaModifiché

Proposission. Minca sequensa ëd Cauchy an në spassi métrich a l'é limità.

Dimostrassion. I soma ch'a-i é n'ìndes N tal che

.

An particolar,

e donca a l'é contnù ant la bala ëd sènter e raj 1. Sòn a veul dì che la sequensa a l'é limità a la finitiva e donca limità.

Proposission. Minca sequensa convergenta an në spassi métrich a l'é na sequensa ëd Cauchy.

Dimostrassion. Consideroma na sequensa e butoma che . Fissoma . Donca a-i é n'ìndes N tal che për minca n>N i l'oma . Pijà antlora qualsëssìa n,m>N, i l'oma che

.

Proposission. Na sequensa ëd Cauchy ch'a l'abia na sot-sequensa convergenta a l'é convergenta.

Dimostrassion. Butoma che

e fissoma ε>0. I trovoma an corispondensa , andoa i podoma fé cont che , taj che

,
.

Antlora, pijà qualsëssìa i l'oma

.

Nopà, a l'é nen dit che an general na sequensa ëd Cauchy an në spassi métrich a convergia an së spassi. D'àutra part, na sequensa ëd Cauchy ëd nùmer reaj o compless a convergg (an o , rispetivaman).

Në spassi métrich X a l'é dit complet si minca sequensa ëd Cauchy a l'ha 'n lìmit andrinta a X. Dait në spassi métrich qualsëssìa (X,d), a-i é në spassi métrich complet tal che (X,d) a l'é 'n sot-ëspassi d' e X a l'é satì an . Cost ëspassi a l'é ùnich a manch ëd n'isometrìa e a l'é ciamà ël completament d'(X,d). A val la propietà che X a l'é separàbil si e mach si a-l l'é.

EsempiModifiché

Consideroma na sequensa e butoma ch'a-i sia un nùmer k, con 0<k<1, tal che

.

Antlora la sequensa a l'é na sequensa ëd Cauchy e, si lë spassi métrich a l'é complet, a convergg.
An efet, da le relassion

,

e via fòrt, i na tiroma che

.

Donca, fissà un p>0 qualsëssìa,

,

quantità che, për n grand ch'a basta, a peul esse rendùa pì cita ëd qualsëssìa .

Aplicassion a le serieModifiché

An aplicand a na serie real o complessa ël criteri ëd Cauchy për le sequense, i otnoma che la serie a convergg si e mach si pijà qualsëssìa a-i é tal che për minca n>N e minca p a val

.

Tanme corolari a-i na ven che la sequensa dij tèrmin ëd na serie convergenta a l'é infinitésima. Armarcoma però che a-i é dle serie con tèrmin general infinitésim e nen convergente, tanme la serie armònica.

Criteri ëd Cauchy për le fonsionModifiché

Dàit në spassi topològich X e në spassi métrich E, as dis che na fonsion a sodisfa ël criteri ëd Cauchy ant n'anviron dël pont si për qualsëssìa real a-i é n'anviron V d'a tal che, për minca la distansa an tra f(x) e f(y) a l'é pì cita che .

Criteri ëd convergensa ëd CauchyModifiché

Ch'as consìdero na fonsion e un pont , taj che I a conten-a n'anviron forà d'. Antlora, condission necessaria e suficenta përchè a esista tal che a l'é che për minca a-i sia n'anviron forà d', , tal che për qualsëssìa a vala la relassion .

DimostrassionModifiché

Si , antlora fissà ε>0 a-i é n'anviron forà V d' tal che

.

Antlora, pijà , i l'oma

.

Për ël convers, ch'as consìdera na sequensa convergenta a , con tuti ij tèrmin diferent da . Fissà ε>0, denotoma l'anviron forà d' garantì da j'ipòtesi. A-i é antlora n'ìndes N tal che për minca n>N i l'oma . Donca, për minca n,m>N, a val la relassion e la sequensa a sodisfa ël criteri ëd Cauchy dle sequense. Dagià che a l'é complet, costa sequensa a l'ha un lìmit, ciamomlo l. Pijà qualsëssìa sequensa convergenta a con tuti ij tèrmin diferent da , la sequensa otnùa an mës-ciand e , visadì

,
,

a convergg a e dagià che a l'é torna na sequensa ëd Cauchy con na sot-sequensa convergenta a l, a-i na ven che

e che

.

Donca, .