Criteri ëd Cauchy

Criteri ëd Cauchy për le sequense Dàita na sequensa $x_{n}$ ant në spassi métrich, as dis che sa sequensa a l'é na sequensa ëd Cauchy o ch'a sodisfa 'l criteri ëd Cauchy si për minca nùmer real $\varepsilon >0$ a-i é 'n nùmer natural N tal che për tuti ij naturaj $p\geq N$ e $q\geq N$ la distansa an tra $x_{p}$ e $x_{q}$ a l'é pì cita che $\varepsilon$. Esempi Minca sequensa monoton-a e limità ëd nùmer rassionaj a l'é na sequensa ëd Cauchy. Butoma për esempi che $a_{n}$ a sia nen dechërsenta e limità dëdzora. Sòn a veul dì che: $\forall n,a_{n}\leq a_{n+1}$, $\exists M,\forall n,a_{n}\leq M$. Si $a_{n}$ a fussa nen ëd Cauchy, a-i sarìa $\varepsilon >0$ tal che $\forall N,\exists n,m,\ n>m>N,a_{n}-a_{m}\geq \varepsilon$. An particolar, pijà N=0, i trovoma $n_{0}>m_{0}>0$ taj che $a_{n_{0}}-a_{m_{0}}\geq \varepsilon$. Pijoma adess $N=n_{0}$; i trovoma $n_{1}>m_{1}>n_{0}$ taj che $a_{n_{1}}-a_{m_{1}}\geq \varepsilon$. Andasend anans përparèj, i trovoma na sot-sequensa $a_{n_{k}}$ tal che $a_{n_{k}}-a_{n_{0}}\geq k\varepsilon$, contra l'ipòtesi ëd limitatëssa. Për esempi, consideroma la sequensa definìa ëd fasson andutiva da $x_{0}=a$, $x_{n+1}=x_{n}-{\frac {x_{n}^{p}-b}{px_{n}^{p-1}}}$, anté che $p\geq 2$ a l'é 'n natural, b>0 e a>0 a son taj che $a^{p}>b$. Antlora as peul mostresse për andussion che $\forall n,0<x_{n+1}\leq x_{n}$, e an efet $b\leq x_{n}^{p}$, e donca la sequensa $x_{n}$ a l'é ëd Cauchy. Si $\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\lambda$, antlora $\lambda ^{p}=b$: an efet $\lambda \neq 0$ dagià che da λ=0 a jë vnirìa che $\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}^{p}=0$, contra $x_{n}^{p}\geq b>0$; e antlora an passand al lìmit ant la relassion arcorenta i l'oma $\lambda =\lambda -{\frac {\lambda ^{p}-b}{p\lambda ^{p-1}}}$. Tutun, fissà un rassional positiv b, an general a-i é nen un rassional λ tal che $\lambda ^{p}=b$. Donca cost a resta n'esempi ëd na sequensa ëd Cauchy an $\mathbb {Q}$ nen convergenta (an $\mathbb {Q}$). N'àutr esempi ëd sequensa ëd Cauchy ëd rassionaj nen convergenta an $\mathbb {Q}$ a l'é la sequensa chërsenta $e_{n}=1+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+\dots +{\frac {1}{n!}}$. Pr'ës-ciairé ch'a l'é limità, as fa vëdde che $\forall n>3,{\frac {5}{2}}<e_{n}<{\frac {35}{12}}$. An efet, ${\frac {1}{n!}}\leq {\frac {1}{2^{n-1}}}$ e donca ${\frac {5}{2}}=1+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}<e_{n}<1+1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2^{2}}}+\dots +{\frac {1}{2^{n-1}}}+{\frac {1}{3!}}-{\frac {1}{2^{2}}}=$ $=1+{\frac {1-({\frac {1}{2}})^{n}}{1-{\frac {1}{2}}}}-{\frac {1}{12}}<3-{\frac {1}{12}}={\frac {35}{12}}$. S'a fussa $\lim _{n\rightarrow \infty }e_{n}=l\in \mathbb {Q}$, i l'avrìo ${\frac {5}{2}}\leq l\leq {\frac {35}{12}}$, d'anté ch'a-i ven che $l={\frac {p}{q}}$ con $q\geq 2$. Sòn a ìmplica che $\lim _{n\rightarrow \infty }q!e_{n}=q!l\in \mathbb {N}$. Pijà n>q, as treuva che $q!e_{n}=(q!+q!+3\cdot 4\cdot \dots \cdot q+4\cdot 5\cdot \dots \cdot q+\dots +q+1+R_{n}$, andoa $R_{n}={\frac {1}{q+1}}+{\frac {1}{(q+1)(q+2)}}+\dots +{\frac {1}{(q+1)(q+2)\cdot \dots \cdot n}}$. Ma ${\frac {1}{q+1}}\leq R_{n}\leq {\frac {1}{2}}$, dagià che $R_{n}\leq {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\dots +{\frac {1}{3^{n-q}}}={\frac {1}{3}}{\frac {1-({\frac {1}{3}})^{n-q}}{1-{\frac {1}{3}}}}<{\frac {1}{3}}{\frac {3}{2}}={\frac {1}{2}}.$ Donca $R_{n}$ a peul nen converge a 'n nùmer antregh. Criteri ëd Cauchy e convergensa Proposission. Minca sequensa ëd Cauchy an në spassi métrich a l'é limità. Dimostrassion. I soma ch'a-i é n'ìndes N tal che $\forall n,m>N,d(a_{n},a_{m})<1$. An particolar, $\forall n>N,d(a_{n},a_{N+1})<1$ e donca $a_{n}$ a l'é contnù ant la bala ëd sènter $a_{N+1}$ e raj 1. Sòn a veul dì che la sequensa a l'é limità a la finitiva e donca limità. Proposission. Minca sequensa convergenta an në spassi métrich a l'é na sequensa ëd Cauchy. Dimostrassion. Consideroma na sequensa $a_{n}$ e butoma che $\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=l$. Fissoma $\varepsilon >0$. Donca a-i é n'ìndes N tal che për minca n>N i l'oma $d(a_{n},l)<{\frac {\varepsilon }{2}}$. Pijà antlora qualsëssìa n,m>N, i l'oma che $d(a_{m},a_{n})\leq d(a_{m},l)+d(l,a_{n})<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon$. Proposission. Na sequensa ëd Cauchy ch'a l'abia na sot-sequensa convergenta a l'é convergenta. Dimostrassion. Butoma che $\lim _{k\rightarrow \infty }a_{n_{k}}=l$ e fissoma ε>0. I trovoma an corispondensa $N,K\in \mathbb {N}$, andoa i podoma fé cont che $n_{K}>N$, taj che $\forall n,m>N,d(a_{n},a_{m})<\varepsilon$, $\forall k>K,d(a_{n_{k}},l)<\varepsilon$. Antlora, pijà qualsëssìa $h>n_{K}$ i l'oma $d(a_{h},l)\leq d(a_{h},a_{n_{K+1}})+d(a_{n_{K+1}},l)<\varepsilon +\varepsilon =2\varepsilon$. Nopà, a l'é nen dit che an general na sequensa ëd Cauchy an në spassi métrich a convergia an së spassi. D'àutra part, na sequensa ëd Cauchy ëd nùmer reaj o compless a convergg (an $\mathbb {R}$ o $\mathbb {C}$, rispetivaman). Në spassi métrich X a l'é dit complet si minca sequensa ëd Cauchy a l'ha 'n lìmit andrinta a X. Dait në spassi métrich qualsëssìa (X,d), a-i é në spassi métrich complet $({\hat {X}},{\hat {d}})$ tal che (X,d) a l'é 'n sot-ëspassi d'$({\hat {X}},{\hat {d}})$ e X a l'é satì an ${\hat {X}}$. Cost ëspassi a l'é ùnich a manch ëd n'isometrìa e a l'é ciamà ël completament d'(X,d). A val la propietà che X a l'é separàbil si e mach si ${\hat {X}}$ a-l l'é. Esempi Consideroma na sequensa $a_{n}$ e butoma ch'a-i sia un nùmer k, con 0<k<1, tal che $\forall n,d(a_{n+2},a_{n+1})\leq kd(a_{n+1},a_{n})$. Antlora la sequensa $a_{n}$ a l'é na sequensa ëd Cauchy e, si lë spassi métrich a l'é complet, a convergg. An efet, da le relassion $d(a_{2},a_{1})\leq kd(a_{1},a_{0})$, $d(a_{3},a_{2})\leq kd(a_{2},a_{1})\leq k^{2}d(a_{1},a_{0})$ e via fòrt, i na tiroma che $\forall n,d(a_{n+1},a_{n})\leq k^{n}d(a_{1},a_{0})$. Donca, fissà un p>0 qualsëssìa, $d(a_{n+p},a_{n})\leq d(a_{n+p},a_{n+p-1})+\dots +d(a_{n+1},a_{n})\leq$ $\leq (k^{n+p-1}+\dots +k^{n})d(a_{1},a_{0})=k^{n}(1+k+\dots +k^{p-1})d(a_{1},a_{0})=$ $=k^{n}{\frac {1-k^{p}}{1-k}}d(a_{1},a_{0})\leq {\frac {k^{n}}{1-k}}d(a_{1},a_{0})$, quantità che, për n grand ch'a basta, a peul esse rendùa pì cita ëd qualsëssìa $\varepsilon >0$. Aplicassion a le serie An aplicand a na serie real o complessa ël criteri ëd Cauchy për le sequense, i otnoma che la serie $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ a convergg si e mach si pijà qualsëssìa $\varepsilon >0$ a-i é $N\in \mathbb {N}$ tal che për minca n>N e minca p a val $|a_{n}+a_{n+1}+\dots +a_{n+p}|<\varepsilon$. Tanme corolari a-i na ven che la sequensa dij tèrmin ëd na serie convergenta a l'é infinitésima. Armarcoma però che a-i é dle serie con tèrmin general infinitésim e nen convergente, tanme la serie armònica. Criteri ëd Cauchy për le fonsion Dàit në spassi topològich X e në spassi métrich E, as dis che na fonsion $f:X\to E$ a sodisfa ël criteri ëd Cauchy ant n'anviron dël pont $a\in X$ si për qualsëssìa real $\varepsilon >0$ a-i é n'anviron V d'a tal che, për minca $x,y\in V$ la distansa an tra f(x) e f(y) a l'é pì cita che $\varepsilon$. Criteri ëd convergensa ëd Cauchy Ch'as consìdero na fonsion $f:I\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ e un pont $x_{0}\in \mathbb {R}$, taj che I a conten-a n'anviron forà d'$x_{0}$. Antlora, condission necessaria e suficenta përchè a esista $l\in \mathbb {R}$ tal che $\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=l$ a l'é che për minca $\varepsilon >0$ a-i sia n'anviron forà d'$x_{0}$, $V\subseteq I$, tal che për qualsëssìa $x,y\in V$ a vala la relassion $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$. Dimostrassion Si $\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=l$, antlora fissà ε>0 a-i é n'anviron forà V d'$x_{0}$ tal che $\forall x\in V,|f(x)-l|<\varepsilon$. Antlora, pijà $x,y\in V$, i l'oma $|f(x)-f(y)|\leq |f(x)-l|+|l-f(y)|<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon$. Për ël convers, ch'as consìdera na sequensa $z_{n}$ convergenta a $x_{0}$, con tuti ij tèrmin diferent da $x_{0}$. Fissà ε>0, denotoma $V_{\varepsilon }$ l'anviron forà d'$x_{0}$ garantì da j'ipòtesi. A-i é antlora n'ìndes N tal che për minca n>N i l'oma $z_{n}\in V_{\varepsilon }$. Donca, për minca n,m>N, a val la relassion $|f(z_{n})-f(z_{m})|<\varepsilon$ e la sequensa $|f(z_{n})|$ a sodisfa ël criteri ëd Cauchy dle sequense. Dagià che $\mathbb {R}$ a l'é complet, costa sequensa a l'ha un lìmit, ciamomlo l. Pijà qualsëssìa sequensa $w_{n}$ convergenta a $x_{0}$ con tuti ij tèrmin diferent da $x_{0}$, la sequensa otnùa an mës-ciand $z_{n}$ e $w_{n}$, visadì $u_{2n}=z_{n}$, $u_{2n+1}=w_{n}$, a convergg a $x_{0}$ e dagià che $f(u_{n})$ a l'é torna na sequensa ëd Cauchy con na sot-sequensa convergenta a l, a-i na ven che $\lim _{n\rightarrow \infty }f(u_{n})=l$ e che $\lim _{n\rightarrow \infty }f(w_{n})=l$. Donca, $\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=l$.