Teorema ëd Banach-Steinhaus

Ël teorema ëd Banach-Steinhaus o prinsipi ëd limitatëssa uniforma a l'é un dj'arzultà fondamentaj dl'anàlisi fonsional e, ansema al teorema ëd Hahn-Banach e ël teorema dla fonsion duverta, a l'é considerà un-a dle bas dë sta branca dl'anàlisi. An soa forma pì sempia, a fortiss che për na famija d'operator linear continuo definì ansima a në spassi ëd Banach, la limitatëssa pontual a l'é equivalenta a la limitatëssa. Ël teorema a l'é stàit publicà la prima vira ant ël 1927 da Stefan Banach e Hugo Steinhaus ma a l'é stàit ëdcò dimostrà an manera indipendenta da Hans Hahn. Enonsià Ch'a sio $X$ në spassi ëd Banach, $Y$ në spassi normà e $F$ na famija d'operator linear continuo da $X$ an $Y$ taj che për tuti j'x an X a arzulta $\sup \left\{\,\|Tx\|:T\in F\,\right\}<\infty$. Antlora $\sup \left\{\,\|T\|:T\in F\;\right\}<\infty .$. An dovrand ël teorema ëd categorìa ëd Baire, i l'oma la dimostrassion sì da press. Dimostrassion Për minca $n\in \mathbb {N}$ definioma l'ansem $A_{n}\doteq \left\{x\in X:\|Tx\|\leq n\ \forall T\in F\right\}$. Për ipòtesi, për minca $x\in X$ a-i é n'ìndes natural $n=n(x)$ tal che $\|Tx\|\leq n\ \forall T\in F$ e da sòn a-i ven che $X=\cup _{n=1}^{\infty }A_{n}$. Armarcoma che, për la continuità dj'element $T$ d'$F$, tuti j'ansem $A_{n}$ a son sarà. Arcorend al teorema ëd categorìa ëd Baire i na derivoma ch'a esist un natural $m$ tal che ${\overline {A}}_{m}=A_{m}$ a l'ha anterior nen veuid, visadì a-i son $y\in X$ e $\epsilon >0$ taj che $B_{\epsilon }(y)\subseteq T^{-1}\left(\left\{z:\|z\|\leq m\right\}\right)\ \forall T\in F$. An d'àutre paròle i l'oma $\|T(x+y)\|\leq m\ \forall x:\|x\|<\epsilon ,\ \forall T\in F$ e donca $\|Tx\|\leq \|T(x+y)\|+\|Ty\|\leq m+\|Ty\|\ \forall x:\|x\|<\epsilon ,\ \forall T\in F$. Da $x\in X$ a-i ven che $\|Tx\|=\left\|T\left({\frac {\|x\|}{\epsilon }}\cdot {\frac {\epsilon }{\|x\|}}\cdot x\right)\right\|={\frac {\|x\|}{\epsilon }}\left\|T\left(\epsilon \cdot {\frac {x}{\|x\|}}\right)\right\|\leq {\frac {\|x\|}{\epsilon }}\left(m+\|Ty\|\right)\ \forall T\in F$. 'me conseguensa $\|T\|\leq {\frac {1}{\epsilon }}\left(m+\|Ty\|\right)\ \forall T\in F$. Sòn a completa la dimostrassion. Generalisassion L'ambient natural për ël teorema ëd Banach-Steinhaus a l'é në spassi botal anté vale la version generalisà dël teorema sì da press: Dàit në spassi botal X e në spassi localman convess Y, qualsëssìa famija d'operator linear continuo, limità pontualman, da X a Y a l'é equicontinua (ëdcò uniformeman equicontinua).