Teorema dla fonsion duverta

Ël teorema dla fonsion duverta a l'é dovù a Banach. A fortiss che si E e F a son dë spassi ëd Banach e T a l'é n'operador linear continuo e surietiv da E a F, antlora a-i é na costanta c>0 tal che la sfera ëd sènter 0 e raj c an F a l'é contnùa ant la plancia scond T dla sfera ëd sènter 0 e raj 1 d'E. Ës teorema a ìmplica che T a manda ansem duvert d' E an ansem duvert d'F, dont sò nòm. An efet, ch'as consìdera un sot-ansem duvert U d'E nen veuid e ch'as pija un pont $y_{0}\in T(U)$. Donca $y_{0}=T(x_{0})$ për chèich $x_{0}\in U$. Antlora a esist r>0 tal che, denotà ${\mathcal {B}}_{r}(x_{0})$ la sfera ëd sènter $x_{0}$ e raj r, un a l'ha ${\mathcal {B}}_{r}(x_{0})\subseteq U$, visadì $x_{0}+{\mathcal {B}}_{r}(0)\subseteq U$. Antlora $y_{0}+T({\mathcal {B}}_{r}(0))\subseteq T(U)$. Për l'ipòtesi, ${\mathcal {B}}_{rc}(0)\subseteq T({\mathcal {B}}_{r}(0))$, dont ${\mathcal {B}}_{rc}(y_{0})\subseteq T(U)$ e T(U) a arzulta esse duvert. Un corolari Ch'as consìdero jë spassi ëd Banach E e F e n'operador linear continuo e bijetiv $T:E\to F$. Antlora $T^{-1}:F\to E$ a l'é continuo. Dimostrassion. Dal teorema, un a sa che për tuti j'$x\in E$ taj che $||T(x)||<c$ un a l'ha $||x||<1$. Për omogenità, $\forall x\in E,||x||\leq {\frac {1}{c}}||T(x)||$, donca $T^{-1}$ a l'é continuo. N'aplicassion Ch'as consìdera në spassi vetorial E dotà 'd norme $||x||_{1}$ e $||x||_{2}$ taj che E a sia në spassi ëd Banach rëspet a tute doe se norme. Butoma, an dzorpì, che $\exists C\geq 0,\forall x\in E,||x||_{2}\leq C||x||_{1}$. Antlora $\exists c>0,\forall x\in E,||x||_{1}\leq c||x||_{2}$, visadì le doe norme a son equivalente. A basta an efet apliché ël corolari a jë spassi ëd Banach $(E,||\ ||_{1}),(E,||\ ||_{2})$ e a la fonsion identità. La dimostrassion dël teorema A conven fé la dimostrassion an toi tòch: 1. Si $T:E\to F$ a l'é n'operador linear e surietiv, antlora $\exists c>0,{\mathcal {B}}_{2c}(0)\subseteq {\overline {T({\mathcal {B}}_{1}(0))}}$ 2. Si $T:E\to F$ a l'é n'operador linear continuo ch'a sodisfa sa dariera relassion, antlora ${\mathcal {B}}_{c}(0)\subseteq T({\mathcal {B}}_{1}(0))$. Dimostrassion dla prima part Për tut n natural positiv, ch'as buta X_n=n \overline{T( \mathcal B_1(0))} </math>. Dagià che T a l'é surietiv, a-i na ven che $F=\bigcup _{n=1}^{\infty }X_{n}$ e dal teorema ëd categorìa ëd Baire as treuva $n_{0}$ tal che $Int({\overline {T({\mathcal {B}}_{1}(0))}})\neq \emptyset$. Ch'as pijo antlora $c>0,y_{0}\in F$ taj che ${\mathcal {B}}_{4c}(y_{0})\subseteq {\overline {T({\mathcal {B}}_{1}(0))}}$. An particolar, $y_{0}\in {\overline {T({\mathcal {B}}_{1}(0))}}$ e, për simetrìa, ëdcò $-y_{0}\in {\overline {T({\mathcal {B}}_{1}(0))}}$. An somand e tnisend da ment che ${\overline {T({\mathcal {B}}_{1}(0))}}$ a l'é bombà, un a oten ${\mathcal {B}}_{4c}(0)\subseteq {\overline {T({\mathcal {B}}_{1}(0))}}+{\overline {T({\mathcal {B}}_{1}(0))}}=2{\overline {T({\mathcal {B}}_{1}(0))}}$, dont la tesi. Dimostrassion dla sconda part Ch'as fissa $y\in F$ con $||y||<c$, con ël but ëd trové $x\in E$ tal che $||x||<1$ e T(x)=y. Da la condission admetùa, un a l'ha che $\forall \varepsilon >0,\exists z\in E,||z||<{\frac {1}{2}}\wedge ||y-T(z)||<\varepsilon$. An sernend $\varepsilon ={\frac {c}{2}}$ un a treuva $z_{0}\in E$ tal che $||z_{0}||<{\frac {1}{2}}$ e $||y-T(z_{0})||<{\frac {c}{2}}$. An aplicand l'istess rasonament con $y-T(z_{0})$ al pòst d'y e con $\varepsilon ={\frac {c}{4}}$, as treuva $z_{1}\in E$ tal che $||z_{1}||<{\frac {1}{4}}$ e $||y-T(z_{0})-T(z_{1})||<{\frac {c}{4}}$. An seghitand përparèj, un a fàbrica na sequensa $z_{n}$ tal che $\forall n\in \mathbb {N} ,||z_{n}||<{\frac {1}{2^{n+1}}}$ e $||y-T(\sum _{i=0}^{n}z_{i})||<{\frac {c}{2^{n+1}}}$. Donca la sequensa $x_{n}=\sum _{i=0}^{n}z_{i}$ a l'é ëd Cauchy. Ch'as denòta con x sò lìmit. Antlora $||x||<1$ e y=T(x) përchè T a l'é continuo.