Pian d'Argand-Cauchy

Ël pian d'Argand-Cauchy o (pian d'Argand-Gauss) a l'é l'arpresentassion geométrica dij nùmer compless an s'un pian euclidéo: ël compless a+ib a resta identificà al pont ëd coordinà (a,b) an n'arferiment ortonormal dël pian. Ël pian d'Argand-Cauchy a l'é stàit antroduvù për la prima vira da Wessel. An particolar, ij nùmer reaj, visadì ij nùmer compless dla forma a+i0, a corëspondo ai pont an sl'ass dj'assisse, ch'a l'é donca ciamà ass real. J'anmaginari s-cèt, visadì ij nùmer dla forma 0+ib, a corëspondo ai pont ëd l'ass dj'ordinà, che për lòn a l'é ciamà ass anmaginari. Ël mòdol ${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ dël nùmer compless a+ib a dventa la distansa dël pont ch'a lo arpresenta da l'orìgin ëd j'ass. Arpresentassion goniomètrica dij nùmer compless Costa antërpretassion geométrica dij nùmer compless a sugeriss n'àutra manera d'arpresenteje. Consideroma un nùmer compless z=a+ib ëd mòdol $r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$. Ciamoma α l'àngol che ël vetor ch'a gionz l'orìgin al pont ch'a arpresenta z a forma con l'ass dj'assisse. I l'oma antlora a=rcosα, b=rsinα e donca a+ib=r(cosα+isinα). Dagià che sen e cosen a son ëd fonsion periòdiche ëd perìod 2π, i otnoma che a+ib=r[cos(α+2kπ)+isin(α+2kπ)] anté che k a l'é n'antregh qualsëssìa. La condission d'ugualiansa antra ij nùmer compless z=r(cosα+isinα) e z'=r'(cosβ+isinβ) a dventa donca r=r' e α=β+2kπ për chèich $k\in \mathbb {Z}$. Minca nùmer α ch'a sodisfa j'equassion $\cos \alpha ={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$ $\sin \alpha ={\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$ a l'é dit n'argoment d'a+ib. Prodot e ëd nùmer compless an forma goniométrica Con costa arpresentassion dij nùmer compless a dventa belfé fé le multiplicassion. Consideroma an efet ij nùmer z=r(cosα+isinα) e z'=r'(cosβ+isinβ). Sò prodot a sarà $zz'=r(\cos \alpha +i\sin \alpha )r'(\cos \beta +i\sin \beta )=$ $=rr'[\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta +i(\cos \alpha \cdot \sin \beta +\sin \alpha \cdot \cos \beta )]=$ $=rr'[\cos(\alpha +\beta )+i\sin(\alpha +\beta )]$. An particolar, an multiplicand n vire ël nùmer compless z=r(cosα+isinα) për chiel-midem as oten la fórmola ëd De Moivre.