Sen (matemàtica)

Ël sen ëd n'àngol a l'é ël rapòrt antra l'ordinà dël pont estrem ëd n'arch determinà da s'àngol ch'a l'abia soa orìgin an sl'ass dj'assisse e sò sènter ant l'orìgin dle coordinà e ël raj ëd l'arch midem. La fonsion sen a l'é denotà sin. As peul definisse për mojen ëd la serie $\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\ldots$, ch'a sarìa sò dësvlup. Animassion ch'a mostra com ch'as disegna y = sin x (andoa x a l'é l'àngol an radiant) an dovrand un sercc unitari Fonsion sinussoidaj Le fonsion sinussoidaj a l'han la forma $y=A\sin 2\pi \left({\frac {t}{T}}+k\right)$ anté che A e T a son positiv e k a l'é na costanta qualsëssìa. An butand ${\frac {2\pi }{T}}=\omega$ la forma a dventa $y=A\sin(\omega t+\alpha )$. Ël nùmer A, màssim ëd la fonsion, a n'é l'ampiëssa. La costanta $\nu ={\frac {1}{T}}$ a l'é ciamà frequensa, antant che $\omega ={\frac {2\pi }{T}}=2\pi \nu$ a l'é la pulsassion ëd la fonsion. L'àngol $\omega t+\alpha$, fonsion linear ëd t, as ciama la fas. Si, nopà dël sen, ant la fonsion a compariss ël cosen, as agiss ancor ëd na fonsion sinussoidal, dagià che $A\cos(\omega t+\beta )=A\sin \left(\omega t+\beta +{\frac {\pi }{2}}\right)$. Studi dla fonsion sinussoidal Le derivà sucessive ëd na fonsion sinussoidal a son ëd fonsion sinussoidaj. An efet, $y'=A\omega \cos(\omega t+\alpha )=A\omega \sin \left(\omega t+\alpha +{\frac {\pi }{2}}\right)$, $y''=-A\omega ^{2}\sin(\omega t+\alpha )=A\omega ^{2}\sin(\omega t+\alpha +\pi )=-\omega ^{2}y$. D'àutra part, le solussion ëd l'equassion diferensial $y''=-\omega ^{2}y$ a son le fonsion sinussoidaj. An efet, a parte da s'equassion, un a oten $2y'y''=-\omega ^{2}2yy'$ e, antëgrand, $y'^{2}=-\omega ^{2}y^{2}+C$ anté che C a l'é na costanta positiva. As peul antlora butesse $C=A^{2}\omega ^{2}$ e scrive $y'^{2}=\omega ^{2}(A^{2}-y^{2})=\omega ^{2}A^{2}\left(1-{\frac {y^{2}}{A^{2}}}\right)$, visadì $y'={\frac {dy}{dt}}=\pm \omega A{\sqrt {1-{\frac {y^{2}}{A^{2}}}}}$. An separand le variàbij e antëgrand, $\pm {\frac {d{\frac {y}{A}}}{\sqrt {1-{\frac {y^{2}}{A^{2}}}}}}=\omega dt$ $\arcsin {\frac {y}{A}}=\omega t+\alpha$, lòn ch'as peul ëscriv-se ${\frac {y}{A}}=\sin(\omega t+\alpha )$ visadì $y=A\sin(\omega t+\alpha )$. Ël moviment armònich Ël moviment d'un pont material P ëd massa m ch'a bogia ansima a n'ass Ox conforma a la laj $x=A\sin(\omega t+\varphi )$ a l'é dit moviment alternà sempi o moviment vibratòri sempi (o sinussoidal) o moviment armònich. L'andi d'ës pont a l'é $v={\frac {dx}{dt}}=A\cos(\omega t+\varphi )$ e l'acelerassion a l'é $\gamma =-\omega ^{2}x$. La fòrsa aplicà a P ch'a produv ël moviment a l'é smonùa da $F=m\gamma =-m\omega ^{2}x$. Donca sa fòrsa a l'é dirigiùa da P vers O e a l'é proporsional a x, visadì ël pont O a esèrcita su P na fòrsa d'atrassion proporsional a soa distansa da P. D'àutra part, si un pont material P a bogia an sn'ass fiss Ox tirà vers O da na fòrsa proporsional a OP, antlora ël moviment ëd P a l'é un moviment armònich. An efet, la fòrsa a resta smonùa da $m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-kx$, con k>0; an marcand $k=m\omega ^{2}$, visadì $\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}$, un a oten $x=A\sin(\omega t+\varphi )$, anté che le costante A e φ a dipendo dai valor inissiaj $x_{0},v_{0}$ ëd posission e andi: $x_{0}=A\sin \varphi$ $v_{0}=\omega A\cos \varphi$, dont $A^{2}=x_{0}^{2}+{\frac {v_{0}^{2}}{\omega ^{2}}}$ $\tan \varphi ={\frac {\omega x_{0}}{v_{0}}}$. Ël pont P a sbalansa antra ij doi pont estrem, d'assisse A e -A. Energìa ëd moviment L'energìa cinètica, o fòrsa viva, dël pont material P a l'época t a l'é ${\mathcal {C}}={\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {1}{2}}A^{2}\omega ^{2}\cos ^{2}(\omega t+\varphi )={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}(A^{2}-x^{2})$. L'energìa potensial, ch'a l'é definìa a men ëd na costanta e ch'as peul pijesse nula për x=0, a l'é $\Pi ={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}$ dagià che ${\frac {d\Pi }{dx}}=m\omega ^{2}x=-F={\frac {d{\mathcal {T}}}{dt}}$, anté che ${\mathcal {T}}$ a l'é ël travaj ëd la fòrsa -F. L'energìa mecànica total, soma dl'energìa cinética e dl'energìa potensial, a l'é costanta e a resta ugual a ${\frac {1}{2}}m\omega ^{2}A^{2}={\frac {1}{2}}kA^{2}$. Donca ël quadrà dl'ampiëssa $A^{2}$ a mzura, a men d'un fator costant, l'energìa mecànica total dël moviment e a l'é soens ciamà antensità dël moviment. Fonsion sinussoidal ësmortà As ciama ëd sòlit fonsion sinussoidal ësmortà la fonsion $y=Ce^{-bt}\sin \left({\frac {2\pi t}{T}}+\varphi \right)$ anté che T (positiv), C, φ, b a son dle costante. La costanta T a l'é ël perìod ëd la fonsion sinussoidal $s=C\sin \left({\frac {2\pi t}{T}}+\varphi \right)$ e a l'é ciamà fàuss perìod ëd la fonsion y. La costanta b a caraterisa ël dësmortament ëd la fonsion e, ëd sòlit, a l'é 'dcò chila positiva. Ël nùmer $\lambda =b{\frac {T}{2}}$ a l'é ël decrement logarìtmich ëd la fonsion. Studi dla fonsion Zero dla fonsion La fonsion sinussoidal ësmortà y as anula anté ch'as anula la fonsion sinussoidal s, visadì ant ij pont dàit da l'equassion ${\frac {2\pi t}{T}}+\varphi =K\pi$, për K antregh, dont $t={\frac {-T\varphi }{2\pi }}+K{\frac {T}{2}}$.