Matemàtica
|
La matemàtica a l'é na siensa, nen empìrica ma rassional. A l'é un-a dj'atività colturaj fondamentaj e un patrimòni dla siviltà uman-a e n'utiss për la conossensa dla realtà. Soa caraterìstica fondamental a l'é ël concet ëd dimostrassion, ch'a consist ant ël derivé dle conclusion rigorose an partend da n'ansem d'assunsion e an dovrand dle régole lògiche. Ël but a l'é col ëd dimostré ëd teorema ch'a fortisso dle propietà dë schema e ëd forme. Element fondamentaj ëd la matemàtica a son la lògica e l'antuission; l'anàlisi e la costrussion; la generalità e ël detaj: a l'é la creatività ch'a s-ciòd da la sìntesi ëd costi concet opòst ch'a na cissa ël dësvlup. A-i é 'dcò chi a l'ha armarcà che l'element predominant ant la creatività matemàtica a l'é l'arserca estética. Ant ël cors dla stòria la matemàtica a l'ha fàit na caterva ëd progress e a l'é soèns dësvlupasse an diression nen ëspetà, ma a l'ha sempe mantnù un caràter unitari. A l'é tutun possìbil arconòss-ne vàire setor, dont ij termo a son nen precis e che a l'han ëd fòrte anterassion an tra 'd lor. Al di d'ancheuj le branche prinsipaj dla matemàtica a son la lògica matemàtica, l'àlgebra, la geometrìa, l'anàlisi, la probabilità, la fìsica matemàtica. Lòn ch'a l'émodìficaA l'é malfé dé dla matemàtica na definission precisa.
Conforma a na veja definission, a sarìa lë studi dij nùmer (aritmética) e dle forme (geometrìa).
Na descrission pì comprensiva a la definiss tanme la siensa dla dimostrassion rigorosa, visadì un métod sientìfich ch'as anteressa a la dedussion lògica ëd conseguense an ancaminand da 'd premësse generaj.
Anterassion con j'àutre dissiplin-emodìficaFin daj temp pì antich, ij problema matemàtich a l'han anteressà ij filòsof.
Un-a dle rason a l'é che për descrive la plancia fìsica dël mond as deuvro d'utiss matemàtich. La branca pì veja dle siense fìsiche a l'é l'astronomìa e a l'ancamin dl'era moderna a l'é stàita pròpe chila a avèj pì da manca d'utiss matemàtich.
Dël Sinch-sent, për djë bzògn astronòmich a l'é fabricà la trigonometrìa. Al di d'ancheuj la matemàtica a l'é an camin a pijé un ròl viaman pì amportant ant la siensa, la tecnologìa e la sossietà midema, e la conomìa a l'é, antra le siense sossiaj, la pì avansà ant l'utilisassion ëd técniche matemàtiche. La siensa dj'ordinator, ch'a l'é pa na branca dla matemàtica, a deuvra la matemàtica an manera ancreusa. D'àutra part, le siense aplicà a l'han ësmonù l'ocasion dë studié dij problema analìtich motobin amportant, an determinand parèj ël progress ëd la matemàtica pura. StòriamodìficaLe rèis ëstòriche dla matemàtica a fongo ant ij temp pì antich; a l'é franch bel fé che al prinsipi a l'èissa tanme but mach d'arzòlve ël problema ëd fé ëd cont. Testimonianse ëd cont a son ëstàite trovà ch'a armonto a l'òm ëd Neanderthal, apopré dël 50.000 aGC. Ëd l'òm ëd Cro-Magnon (apopré 25.000 aGC) a son rivane dij dissègn geométrich. Ël dësvlup dla capassità ëd fé ëd cont a armonta al Paleolìtich: an col che al di d'ancheuj a l'é ël Lìban a son ëstàit trovà dj'òss d'animaj, datà antra 'l 15.000 e ël 12.000 aGC, con dle serie d'anchërne argropà an partìe dl'istessa cardinalità. L'arpresentassion dij cont a l'é donca vnùita motobin prima dl'anvension dla scritura, che d'àutra part a smija esse nassùa pròpe da l'evolussion d'un sistema ëd memorisassion dla contabilità. Le prime sivilisassionmodìficaLe matemàtiche pre-eléniche a coato anviron tre milegn, prima dël 600 aGC. An ancaminand con ij sò prim progress amportant, euvra dle siviltà mesopotàmiche e egissia, ël but dla matemàtica a resta nen confinà mach a l'arzolussion ëd problema pràtich, ma a l'é ëdcò, miraco dzortut, adressà al dësvlup dë schema generaj për l'elaborassion dla conossensa. Jë sgav archeològich a l'han trovà vàire senten-e 'd taulëtte ëd crèja babilonèise, scrite an grafìa cuniforma: scasi tërzent a rësguardo la matemàtica e a dàito o bin dl'época dla prima dinastìa babilonèisa (an tra 'l 1800 e ël 1500 aGC), marcà dal regn d'Hamurabi, o bin dël perìod elenìstich (an tra 'l 600 aGC e 'l 300 dGC), da la dinastìa caldèja a l'amper seléucid. Le taulëtte a smon-o dle serie 'd nùmer, dle relassion geométriche e ëd problema. Ij Caldéo a l'avìo dle conossense aritmétiche spantià, ch'a l'han lassane sot-forma ëd tàule: tàule ëd multiplicassion, tàule dij quadrà dij prim sessanta nùmer, tàule dij cubo dij prim sëddes nùmer. Le conossense matemàtiche babilonèise, che al di d'ancheuj as fan rintré ant l'àlgebra elementar, a son aplicà për la pì part a problema ëd natura econòmica: cambi 'd moneje e marcandisa, problema d'anteresse sempi e compòst, cont dj'ampòste. La sorgiss d'anformassion prinsipal an sla matemàtica egissia a son ij papir.
Ij pì avosà a son ël Papir Rhind, dël British Museum, sòrta ëd manual për profan formà da otantessinch problema, scrivù da lë scriba Ahmes apopré dël 1650 aGC (ma còpia ëd n'original ëd dosent agn pì vej), ël Papir ëd Mosca (1850 aGC), ch'a jë smija motobin, e ël Rolò ëd coram dla matemàtica egissia ch'a n'anforma an sle conossense aritmétiche.
An dzorpì che ij nùmer naturaj, j'Egissi a conossìo mach le frassion unitarie e, an pì, un sìmbol a l'era assignà a la frassion .
Jë scriba a j'ero bon a manipolé ës sistema complicà ëd frassion unitarie. A l'avìo an efet l'ufissi dë dzorantende a la contabilità dla produssion e dl'arpartission dj'arsorse. Jë scrit egissian a conten-o d'anstrussion pr'arzòlve ij problema, ma a-i é mai la giustificassion dle régole smonùe: la validità dle solussion a l'avìa tanme fondament mach l'esperiensa e la tradission. Coste conossense, ch'i podrìo ciamé pre-matemàtica, a j'ero na part, omogenia al rest da na mira metodològica e tramandà ant l'istessa manera, ëd col grand patrimòni ëd conossense empìriche ch'a permëtìa a j'egissi soe avosà realisassion tecnològiche. La Cin-amodìficaLa Cin-a a l'é stàita sede d'un-a antra le pì antiche siviltà sientìfiche e matemàtiche: già dël sécol ch'a fa XII aGC la matemàtica cinèisa a l'avìa argionzù un bon livel. Ij GrechmodìficaLa matemàtica a dventa na dissiplin-a organisà e indipendenta con ij Grech dël perìod clàssich, an tra 'l 600 e ël 300 aGC. Bele che la matemàtica greca a s-ciòd da cole ch'a-i ero prima, as agiss ëd na costrussion caraterìstica ëd lë spìrit grech. La stòria dla coltura greca, an particolar cola dla matemàtica, as peul ëspartisse an quatr perìod ëd tre sécoj mincadun, dal 600 aGC al 600 dGC:
Ël pont antra la pre-matemàtica babilonèisa e egissia e la rafinà siensa matemàtica elenìstica a l'é arpresentà da la matemàtica elénica.
As agiss d'apopré doi sécoj e mes anté che la coltura greca a anteriorisa j'arzultà egissian e mesopotàmich e a-i sot-pon a na crìtica rassional pistin-a, an relassion ës-ciassa con l'anvestigassion filosòfica. Ël perìod elénich a peul esse considerà për la pi part tanme na longa gestassion dla siensa matemàtica, anté ch'a s'é ambaronasse d'utiss lògich viaman pì rafinà, ma la matemàtica a l'era ancor nen rivà a lë stat ëd siensa ant ël sens ch'i-j doma a la paròla al di d'ancheuj, përchè a-i era nen un còrp ëd conossense unì e coerent da na mira lògica. Ël problema dl'infinìmodìficaAntra ij problema ch'a j'ero già presentasse ant la matemàtica greca a-i é col dl'infinì. Për esempi, a l'era s-ciairasse che l'ugualiansa ëd doe surfasse as podìa mach da ràir buté an evidensa con na dëscomposission dle figure ant un nùmer finì ëd part finìe. A l'era presentasse parèj la necessità d'arcore a dëscomposission dle grandësse an na quantità infinitaman granda ëd part infinitaman cite, visadì ij prim tentativ ëd dovré dij procediment ëd tipo infinitesimal. Tutun, cost usage a l'era pa esent da abus e paradòss, për esempi ël rasonament dël sofista Antifont ch'a deduvìa la quadrabilità dël sercc da cola dël polìgon, basandse an sl'afermassion che un polìgon regolar d'un nùmer chërsent ëd bande a finiss për confondse con na sirconferensa. A l'é donca nassuje an manera natural l'anvìa dë s-ciairì coste chestion, për liberesse da la possibilità d'eror paradossaj ant l'usage dl'infinì.
La crìtica a l'é antlora ocupasse dij procediment infinitesimaj, con ël but ëd buteje a pòst e feje vnì rigoros. L'antrodussion sistemàtica ëd procediment infinitesimaj a l'é dovùa a Archimede. Ël prinsipi ëd natura infinitesimal a la base ëd sò métod a consist ant ël consideré j'àree tanme adission ëd tanti segment (o cite bande) otnù an sessionand coste àree arlongh na chèica diression; e ij sòlid tanme adission dle surfasse (o cite fëtte) otnùe sessionand arlongh na dëstèisa. Quant coste cite bande o fëttin-e a venta ch'a sio sutile a resta nen precisà, ma a devo esse motobin fin-e. Cost concet a l'é donca pitòst empirìstich e material e ij rigoros matemàtich ëd l'época a podìo pa acetelo tanme métod ëd dimostrassion. Tutun Archimede a lo deuvra për pijé familiarità con j'oget ch'a studia e fesse n'idèja dle proprietà, për peui sërchene na dimostrassion rigorosa. Ël pensé platònichmodìficaPlaton a butava la matemàtica a lë scond pòst ëd la conossensa sientìfica: al prim a-i vnisìa la dialética, ch'as dësvlupa sensa avèj da manca ëd postulà. An efet, Platon a s-ciàira la vera natura dla matemàtica, butà an pien-a lus mach vàire sécoj pì tard: caraterìstica dla matemàtica a l'é cola ëd dovèj parte da 'd postulà inissiaj nen giustificàbij. Ant ël Filebo ël nùmer a intra a fé part ëd la concession filosòfica, an essend ël mojen d'union antra l'unità dj'idèje e la multiplissità infinìa dle còse. Platon a l'é stàit ël ver fondador dl'ansegnament matemàtich, dagià che për prim a l'ha s-ciairane ël valor formativ. Le figure geométriche ant la teorìa platònica a son. As na dissegno d'inmàgin përchè coste a son; a l'é nen che coste a son përchè nojàutri i-i dissegnoma. Ël métod dedutivmodìficaLa matemàtica greca a riva a sò cò pì fiamengh vers la fin dël perìod elénich e l'ancamin ëd col elenìstich a Atene, Lissandria, Siracusa, con j'euvre ëd Teetet, Eudòss, Euclid, Archimede, Apolòni.
As agiss d'un-a dle pì bele creassion ëd lë spìrit elénich. Për ij Grech dël perìod clàssich, la matemàtica a l'era n'utiss amportant ëd conossensa. As conta che a 'n monsù ch'a l'avìa ciamaje a lòn ch'a servìa la matemàtica, Euclid a l'abia dit a 'n sò s-ciav ëd deje dontré monede d'òr, an disend-je: «Chiel-lì a studia mach për ël tornacont!» Mach a l'época d'Archimede ij matemàtich grech a son rivà a n'ategiament positiv ant ij confront dj'aplicassion. A l'é bel fé ch'a sia stàita la dëscuverta dle dificoltà gropà a j'incomensuràbij a dëstorné ij grech da dësvlupé ël càlcol numérich, anté ch'a-i ero rivaje prima an orient, e a posseje anvece a duvertesse la stra a fòrsa ant l'angavign dla geometrìa assiomàtica. D'àutra part, për ël dësvlup ëd l'aritmética a-j mancavo d'utiss potent, tanme la numerassion decimal e ël càlcol algébrich. Për apopré doimila agn, ël pèis dla tradission geométrica greca a l'ha artardà l'evolussion dël concet ëd nùmer e dij cont algébrich. Ël declinmodìficaApress ël III sécol aGC la matemàtica greca a produv ancor d'euvre motobin amportante dovùe a 'd siensià soèns ëd grand valor, ma pì gnente ëd paragonàbil a j'euvre fiamenghe dël passà. Ant ël camp ëd la geometrìa sférica e dl'astronomìa as peulo arcordesse Menelao, Iparch, Tolomé. Apress costi grand matemàtich, la matemàtica antica as dëstissa, bele che con d'àut e bass. A la fin dl'età antica l'originalità a së smòrta. Ij RomanmodìficaIj Roman a son pa d'autut ëstàit un pòpol matemàtich.
A j'ero nen anteressà a la matemàtica teòrica e a val la pen-a d'armarcheje mach për la part pràtica dla mzura dij teren. L'IndiamodìficaA la mità dël I milegn, ëdcò l'India a l'avìa dësvlupà na comunità matemàtica, peul desse mersì a lë spantiament an India dla conossensa sientìfica dla Grecia, rivà për la prima vira con le conquiste ëd Lissànder Magn ant ël IV sécol aGC. L'Età ëd mesmodìficaAnt l'àuta Età ëd mes la decadensa a va anans an Ossident e as dësmentio ëdcò dj'arzultà dla matemàtica antica, dont ël contat a l'é mantnù a travers d'abresé. L'Ossident cristian a conòss torna la matemàtica antica a travers dj'Àrabo. Ij contat antra le doe siviltà a j'ero mantnusse: già da l'ancamin dël sécol ch'a fa IX a j'ero stàite butà an pé dle relassion polìtiche antra Carl Magn e ël calif ëd Bagdad. Ël contat a l'era peui vnù pì s-ciass con le crosià, e le sità marinare a l'avìo favorì un tràfich marìtim fòrt con l'Orient. FibonaccimodìficaUn moment motobin amportant për la conossensa matemàtica europenga a l'é rivaje con Leonardo Pisan, stranomà Fibonacci (visadì fieul ëd Bonaccio).
Sò pare a l'era ampiegà dla repùblica ëd Pisa a la dogan-a ëd Bugia, an Algerìa.
Da là, a l'ha fàit ven-e sò fieul, përchè a studièissa ij procediment aritmétich dovrà da j'Àrabo e ch'a vnisìo motobin a taj ant ël comersi.
Ël giovo tutun a l'é nen limitasse mach a la part comersal, ma a l'ha possà ij sò studi matemàtich motobin anans, con ëd but teòrich, an riussend a vnì padron ëd la matemàtica clàssica sia a travers dle rielaborassion àrabe che a contat diret con le sorgiss antiche. Ai temp ëd Fibonacci ël simbolism a-i era ancor pa e soa àlgebra a restava ancor a lë stadi dl'ansidita àlgebra retòrica, anté che le régole a j'ero smonùe a paròle. Ij mèistr ëd la prospetivamodìficaDël Quat-sent, a Firense, a jë s-ciòd ëd tendense neuve ant la pitura.
As dësvlupa, dzortut për l'euvra ëd Leon Battista Alberti, Pero dla Fransesca e Leonard da Vinci, lë studi dla prospetiva, visadì dle régole ch'a permëtto, dàit n'oget ant lë spassi, ëd fabriché soa projession an s'un quàder da 'n pont ch'as consìdera esse l'euj dl'artista.
N'àutr artista che an col'época a l'ha aprofondì ij problema dla prospetiva an soa euvra a l'é stàit Albrecht Dürer.
Së studi a l'é anteressant ëdcò da na mira matemàtica e a l'é la smens d'anté ch'as dësvlupo chèich branche dla geometrìa moderna. La matemàtica modernamodìficaLa matemàtica dël dì d'ancheuj, ant ij sò vàire setor, a peul esse pensà tanme la matemàtica clàssica rivà a soa maduridà e dventà àuto-cossienta e àuto-crìtica. Un-a ëd soe caraterìstiche prinsipaj a l'é l'arserca, pì che possìbil, dla generalisassion. L'àlgebramodìficaLa dàita d'achit ëd la matemàtica moderna a peul esse, an manera convensional, fissà al prinsipi dël sécol ch'a fa XVI, cand l'euvra dj'algebrista a sorpassa cola dij matemàtich antich e a duvèrta la stra a le conquiste dij sécoj apress. L'usage dij sìmboj literaj ant l'àlgebra, antrodussion ëd François Viète (1540-1603), a l'é stàita na constribussion dësmisurà a la matemàtica. N'àutr progress fàit an cost'época a l'é l'antrodussion dij nùmer compless, mersì a Rafael Bombelli ch'a l'é rivaje për mojen ëd considerassion ansima a j'equassion ëd ters gré. La creassion ëd la teorìa djë strop a l'é euvra ëd Galois vers ël 1830; la teorìa a l'é peui stàita dësvlupà dzortut da Jordan che an sò avosà Traité des substitutions et des équations algébriques a l'ha smonune na presentassion rigorosa, an sot-lignand-ne ëdcò d'aplicassion amportante, dzortut a la geometrìa.
A l'é stàit mersì a la teorìa djë strop ch'a l'é rivasse a na classificassion ëd le vàire geometrìe. Ël dësvlup dla matemàtica dal sécol ch'a fa XVIImodìficaAnt ij sécoj XVII e XVIII a-i é staje dij dësvlup ëstrasordinari dla matematica, cissà da lë bzògn d'avèj d'utiss ëspeculativ bon a comprende ij prinsipi fondamentaj dla fìsica che, an col istess perìod, a dventava na dissiplin-a sientìfica ant ël sens modern. Dël Ses-sent, Desargue e Pascal a buto le base për la geometrìa projetiva, dësvlupà an particolar da Jean-Victor Poncelet (1788-1867).
Descartes e Fermat cole dla geometrìa analìtica (visadì l'aplicassion ëd l'àlgebra ant lë studi ëd problema geométrich).
Tutun, a venta massioné che già dël sécol ch'a fa XIV Nicole Oresme, an dovrand le coordinà d'un pont dël pian, a l'avìa smonù ël prinsipi dl'arpresentassion gràfica d'un fenòmeno e trovà le condission për che tre pont a fusso alinià; apress sòn e ant ël midem ëspìrit a l'era ocupasse dle coordinà ant lë spassi a tre dimension e a l'avìa fin-a anmaginà në spassi a quatr. A l'é tutun mach dla prima mità dl'Eut-sent për euvra ëd vàire matemàtich, dzortut Cauchy, che ël càlcol infinitesimal a l'é stàit sistemà su 'd base tut afàit rigorose. An efet, dël Set-sent a-i era pa na distinsion ciàira antra matemàtica e fìsica: ij problema matemàtich a l'han soa adoss ant la fìsica e as fa nen la distinsion antra j'oget matemàtich e j'ent fìsich che costi-sì a arpresento. Për esempi, ij matemàtich dël Set-sent a l'han mai ël sossì dij problema ëd convergensa cand a studio na serie: la soma 'd na serie a arpresenta na grandëssa fìsica e minca adend soe contribussion; a s'agiss mach ëd trové na fasson d'adissioneje antra 'd lor an manera d'oten-e n'arzultà ch'a l'abia 'd sust. Dël sécol ch'a fa XIX, con l'arcostrussion dl'anàlisi ansima a 'd base rigorose e con la crìtica dij fondament (dont la dimostrassion che ël quint postulà d'Euclid a peul nen dimostresse da j'àutri quatr), la matemàtica a dventa na dissiplin-a tut afàit autònoma che, sensa perde contat con le siense aplicà, a treuva andrinta a 'd chila midema le motivassion pr'ij sò dësvlup neuv.
An efet, le gran possibilità duvertà dal càlcol infinitesimal a l'han possà a l'ancamin ij matemàtich a sagrinesse pa tròp dël rigor lògich ëd la neuva costrussion analìtica e a travajé mach për sò dësvlup viaman pì gròss.
Ma pì tard a l'é amponusse l'esigensa d'un rigor pì grand.
Precursor ëd costa tendensa a l'é stàit Bolzano, vivù ant la prima mità dël sécol ch'a fa XIX.
Dotà ëd n'ancreus ëspìrit filosòfich a l'ha s-ciairà le mancanse ant ij fondament ëd l'anàlisi e a l'é angagiasse an n'euvra ëd crìtica e d'arcostrussion.
Soe euvre a son restà pòch conossùe e pòch apressià a soa época; mach pì tard a l'han arconossuje soa amportansa e soa profondeur.
Pì arnomà a l'é stàita l'euvra ëd Cauchy, ch'a l'ha butà ël concet ëd lìmit a le fondamenta dl'anàlisi infinitesimal.
Soa a resta ëdcò la definission d'antëgral 'me ch'as deuvra al di d'ancheuj e a l'é chiel ch'a l'ha butà le base për vàire teorìe, dont cola dle fonsion ëd variàbil complessa (na teorìa che a l'ha avù ëdcò d'aplicassion pràtiche a la cartografìa, l'idrodinàmica, l'aerodinànica, la relatività, la mecànica dj'onde). Ancor dël sécol ch'a fa XIX a l'é ël dësvlup ëd teorìe rigorose pr'ij nùmer reaj, bele che costi-sì a j'ero già dovrà da 'n përfond ëd temp. Dël 1872, Klein, ant un discors ëvnù arnomà 'me ël programa d'Erlangen, a l'ha stabilì na classificassion ëd le vàire geometrìe. La probabilitàmodìficaLa teorìa dla probabilità a l'ha ij sò achit ant ël sécol ch'a fa XVII, fondà da Pascal ch'a l'era stàit ëmnà a si studi da 'n problema proponuje da sò amis ël sivalié ëd Méré. La lògica matemàticamodìficaLa prima speransa ëd fondé na lògica matemàtica a armonta andaré al 1275: a l'é an cost'época che Raimond Lulle a l'era sdasse dla possibilità ëd combiné j'enonsià e ëd trasformeje conforma a 'd régole algébriche, për evité qualsëssìa eror e ambiguità.
Leibniz a l'avìa peui a sò temp sustà sa possibilità, dont la realisassion a l'é rivaje mach un sécol apress, con j'arzultà d'A. De Morgan e l'euvra capital ëd George Boole.
La sistematisassion a riva con ij travaj ëd G. Frege, Peano, David Hilbert, Bertrand Russell, Keynes, Rudolf Carnap, Ferdinand Gonseth, Jacques Reinhart e d'àutri. Formalism e logicismmodìficaA la fin dël sécol ch'a fa XIX e a l'ancamin ëd col ch'a fa XX, a l'é spantiasse la concession formalìstica dla matemàtica, dont ël pì grand esponent a l'é stàit Hilbert. Costa concession a përmet soèns ëd trasporté na teorìa matemàtica a 'd camp motobin leugn da soa adoss. Dacant a la tendensa formalìstica a-i é cola logicista ch'a visa a fé dla matemàtica un capìtol ëd la lògica. A costa ardussion dla matemàtica a la lògica a l'ha travajaje për prim Frege. A son peui stàit Russell e Whitehead a realisé ël travaj an sò Principia mathematica (1910); për arparé ai paradòss ch'a l'han rancontrà a l'han anventà la teorìa dij tipo. Ël paradis ëd CantormodìficaApress ij grech, ël problema dl'infinì a l'era stàit torna afrontà da Galilei, che però a l'avìa nen aprofondilo. A son ëstàit peui ij travaj ëd Bolzano a duverté la stra a Dedekind e Cantor. Chiel-sì a l'ha trovà un mojen për comparé infinì diferent an dovrand ij concet d'iniession e ëd bijession. Utiss matemàtichmodìficaAnt la stòria e findi al di d'ancheuj a son ëstàit realisà na caterva d'utiss matemàtich: màchine calcolatris për fé ij cont, conteur ëd tuta sòrta, angign dë mzura e utiss astronòmich. La pì part ëd costi utiss a l'ha për but l'aplicassion ëd la matemàtica a la vita ëd tuti ij di. Esempi d'utiss matemàtich a son:
|
